函數奇偶性練習題精選
11．已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值爲________．
答案 0
512．設f(x)是週期爲2的奇函數，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f(＝________. 2
1答案 － 2
5551111解析 依題意，得f(＝－f＝－f(－2)＝－f＝－2×(1－)＝－2222222
13．函數f(x)＝x3＋sinx＋1的圖像關於________點對稱．
答案 (0,1)
解析 f(x)的`圖像是由y＝x3＋sinx的圖像向上平移一個單位得到的．
14．已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝3x＋m(m爲常數)，則f(－log35)的值爲________． 答案 －4
15．定義在(－∞，＋∞)上的函數y＝f(x)在(－∞，2)上是增函數，且函數y＝f(x＋2)爲偶函數，則f(－
11)，f(4)，f(5的大小關係是__________． 2
1答案 f(5)<f(－1)<f(4) 2
解析 ∵y＝f(x＋2)爲偶函數，
∴y＝f(x)關於x＝2對稱．
又y＝f(x)在(－∞，2)上爲增函數，
∴y＝f(x)在(2，＋∞)上爲減函數，而f(－1)＝f(5)，
1∴f(5＜f(－1)＜f(4)． 2
16．(2015·湖北八校)已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數，若對於x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，求：
(1)f(0)與f(2)的值；
(2)f(3)的值；
(3)f(2 013)＋f(－2 014)的值． B．－1 11D．－4
答案 (1)f(0)＝0，f(2)＝0 (2)f(3)＝－1 (3)1
解析 (2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.
(3)依題意得，x≥0時，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0時，f(x)是以4爲週期的函數．
因此，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2 013)＋f(－2 014)＝1.
17．若f(x)和g(x)都是奇函數，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，求F(x)在(－∞，0)上的最小值．
答案 －4
解析 由題意知，當x>0時，F(x)≤8.
∵f(x)，g(x)都是奇函數，且當x<0時，－x>0.
∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2
＝－af(x)－bg(x)＋2
＝－[af(x)＋bg(x)＋2]＋4≤8.
∴af(x)＋bg(x)＋2≥－4.
∴F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－
4.
1．已知f(x)是在R上的奇函數，f(1)＝2，且對任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，則f(3)＝________；f(2 019)＝________.
答案 0 0
解析 在f(x＋6)＝f(x)＋f(3)中，令x＝－3，得f(3)＝f(－3)＋f(3)，即f(－3)＝0.
又f(x)是R上的奇函數，故f(3)＝0.
即f(x＋6)＝f(x)，知f(x)是週期爲6的周期函數，從而f(2 019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝0.
12．若f(x)是定義在(－1,1)上的奇函數，且x∈[0,1)時f(x)爲增函數，則不等式f(x)＋f(x＜0的解集2
爲________．
11答案 {x|＜x＜} 24
解析 ∵f(x)爲奇函數，且在[0,1)上爲增函數，
∴f(x)在(－1,0)上也是增函數．
∴f(x)在(－1,1)上爲增函數．
1f(x)＋f(x－＜0? 2
11f(x)＜－f(x)＝f(－x)? 22
1－1＜2－x＜1，
