函數的奇偶性是指在關於原點的對稱點的函數值相等。函數奇偶性課件內容,一起來看看!
課標分析
函數的奇偶性是函數的重要性質,是對函數概念的深化.它把自變量取相反數時函數值間的關係定量地聯繫在一起,反映在圖像上爲:偶函數的圖像關於y軸對稱,奇函數的圖像關於座標原點成中心對稱.這樣,就從數、形兩個角度對函數的奇偶性進行了定量和定性的分析.
教材分析
教材首先通過對具體函數的圖像及函數值對應表歸納和抽象,概括出了函數奇偶性的準確定義.然後,爲深化對概念的理解,舉出了奇函數、偶函數、既是奇函數又是偶函數的函數和非奇非偶函數的實例.最後,爲加強前後聯繫,從各個角度研究函數的性質,講清了奇偶性和單調性的聯繫.這節課的重點是函數奇偶性的定義,難點是根據定義判斷函數的奇偶性.
教學目標
1 通過具體函數,讓學生經歷奇函數、偶函數定義的討論,體驗數學概念的建立過程,培養其抽象的概括能力.
教學重難點
1理解、掌握函數奇偶性的定義,奇函數和偶函數圖像的特徵,並能初步應用定義判斷一些簡單函數的奇偶性.
2 在經歷概念形成的過程中,培養學生歸納、抽象概括能力,體驗數學既是抽象的又是具體的.
學生分析
這節內容學生在初中雖沒學過,但已經學習過具有奇偶性的具體的函數:正比例函數y=kx,反比例函數 ,(k≠0),二次函數y=ax2,(a≠0),故可在此基礎上,引入奇、偶函數的概念,以便於學生理解.在引入概念時始終結合具體函數的圖像,以增加直觀性,這樣更符合學生的認知規律,同時爲闡述奇、偶函數的幾何特徵埋下了伏筆.對於概念可從代數特徵與幾何特徵兩個角度去分析,讓學生理解:奇函數、偶函數的定義域是關於原點對稱的非空數集;對於在有定義的奇函數y=f(x),一定有f(0)=0;既是奇函數,又是偶函數的函數有f(x)=0,x∈R.在此基礎上,讓學生了解:奇函數、偶函數的矛盾概念———非奇非偶函數.關於單調性與奇偶性關係,引導學生拓展延伸,可以取得理想效果.
教學過程
一、探究導入
1 觀察如下兩圖,思考並討論以下問題:
(1)這兩個函數圖像有什麼共同特徵?
(2)相應的兩個函數值對應表是如何體現這些特徵的?
可以看到兩個函數的圖像都關於y軸對稱.從函數值對應表可以看到,當自變量x取一對相反數時,相應的兩個函數值相同.
對於函數f(x)=x2,有f(-3)=9=f(3),f(-2)=4=f(2),f(-1)=1=f(1).事實上,對於R內任意的一個x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x).此時,稱函數y=x2爲偶函數.
2觀察函數f(x)=x和f(x)= 的圖像,並完成下面的兩個函數值對應表,然後說出這兩個函數有什麼共同特徵.
可以看到兩個函數的圖像都關於原點對稱.函數圖像的這個特徵,反映在解析式上就是:當自變量x取一對相反數時,相應的函數值f(x)也是一對相反數,即對任一x∈R都有f(-x)=-f(x).此時,稱函數y=f(x)爲奇函數.
二、師生互動
由上面的分析討論引導學生建立奇函數、偶函數的定義
1 奇、偶函數的定義
如果對於函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那麼函數f(x)就叫作奇函數.
如果對於函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼函數f(x)就叫作偶函數.
2 提出問題,組織學生討論
(1)如果定義在R上的.函數f(x)滿足f(-2)=f(2),那麼f(x)是偶函數嗎?
(f(x)不一定是偶函數)
(2)奇、偶函數的圖像有什麼特徵?
(奇、偶函數的圖像分別關於原點、y軸對稱)
(3)奇、偶函數的定義域有什麼特徵?
(奇、偶函數的定義域關於原點對稱)
三、難點突破
例題講解
1 判斷下列函數的奇偶性.
注:①規範解題格式;②對於(5)要注意定義域x∈(-1,1〕.
2 已知:定義在R上的函數f(x)是奇函數,當x>0時,f(x)=x(1+x),求f(x)的表達式.
解:(1)任取x<0,則-x>0,∴f(-x)=-x(1-x),
而f(x)是奇函數,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=x(1-x).
(2)當x=0時,f(-0)=-f(0),∴f(0)=-f(0),故f(0)=0.
3 已知:函數f(x)是偶函數,且在(-∞,0)上是減函數,判斷f(x)在(0,+∞)上是增函數,還是減函數,並證明你的結論.
解:先結合圖像特徵:偶函數的圖像關於y軸對稱,猜想f(x)在(0,+∞)上是增函數,證明如下:
任取x1>x2>0,則-x1<-x2<0.
∵f(x)在(-∞,0)上是減函數,∴f(-x1)>f(-x2).
又f(x)是偶函數,∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函數.
思考:奇函數或偶函數在關於原點對稱的兩個區間上的單調性有何關係?
鞏固創新
1 已知:函數f(x)是奇函數,在〔a,b〕上是增函數(b>a>0),問f(x)在〔-b,-a〕上的單調性如何.
2 f(x)=-x|x|的大致圖像可能是( )
3 函數f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R),當a,b,c滿足什麼條件時,(1)函數f(x)是偶函數.(2)函數f(x)是奇函數.
4 設f(x),g(x)分別是R上的奇函數和偶函數,並且f(x)+g(x)=x(x+1),求f(x),g(x)的解析式.
四、課後拓展
1 有既是奇函數,又是偶函數的函數嗎?若有,有多少個?
2 設f(x),g(x)分別是R上的奇函數,偶函數,試研究:
(1)F(x)=f(x)·g(x)的奇偶性.
(2)G(x)=|f(x)|+g(x)的奇偶性.
3已知a∈R,f(x)=a- ,試確定a的值,使f(x)是奇函數.
4 一個定義在R上的函數,是否都可以表示爲一個奇函數與一個偶函數的和的形式?
教學後記
這篇案例設計由淺入深,由具體的函數圖像及對應值表,抽象概括出了奇、偶函數的定義,符合職高學生的認知規律,有利於學生理解和掌握.應用深化的設計層層遞進,深化了學生對奇、偶函數概念的理解和應用.拓展延伸爲學生思維能力、創新能力的培養提供了平臺。