簡要介紹數理邏輯的發展史,探討數理邏輯在現代數學的解決、論證數學命題過程中的運用,以及學習這門課程的必要性。
邏輯是研究推理的科學,分爲形式邏輯和辨證邏輯。數理邏輯學開始於用數學方法對形式邏輯中推理規律的研究,後來進一步發展到對數學中基礎性問題及邏輯性問題的研究。現在數理邏輯是用數學方法研究形式邏輯的一門科學,也就是用數學方法研究推理的科學。所謂數學方法[1],主要是指引進一套符號體系的方法,因此數理邏輯又叫符號邏輯。現代數理邏輯主要有四大分支:證明論、模型論、遞歸論和公理集合論,其中命題演算和謂詞演算(即一般的所謂古典數理邏輯)是各個分支的共同基礎。
命題是形式邏輯中的基本術語,也是數學中最基本的元素。一個命題是一個或真或假而不能兩者都是的斷言,也就是說,命題是一個非真即假的陳述句。由此我們可以看出一個命題具有兩種可能的取值:如果命題是真,我們說它的真值爲真,通常用T(True)表示;反之,用F(False)表示真值爲假的命題。在計算機語言中則是分別用1和0來表示一個命題真值的真假。像這樣只有兩種取值的命題邏輯稱爲二值邏輯。命題的真值與所討論問題的範圍有關,不能一概而論的說某個命題一定是真或一定是假。在所有斷言中有叫悖論的斷言值得一提。
數學命題包括簡單命題(亦稱原子命題,)和複合命題。前者是隻用一種判斷性謂語動詞敘述某事物的屬性、發展趨勢、變化方式等狀態的語句或數學表達式。把一個或幾個簡單命題用聯結詞(與、或、非等)聯結所構的新的命題,就是複合命題。基本的邏輯聯結詞有:⑴表示“非P”含義的否定詞 ;⑵有“與”、“並且”含義的合取詞∧;⑶表達“或者”、“也許…也許…”含義的析取詞∨;⑷表達“如果…那麼…”因果關係含義的蘊涵詞→。所有的命題被翻譯成複合命題後,根據真值表來判斷命題真值的真或假。
數理邏輯學在數學理論研究中也有到很多的應用,並不只是單單在離散數學中或普通命題演算中顯示其作用。邏輯演算理論是一種有效的工具,如果熟練地掌握了邏輯演算的方法和技巧,就爲進一步瞭解和掌握諸如歸結原理、邏輯程序設計和定理自動證明等奠定了基礎。
尤其是前面提到的數理邏輯的四個分支,都是現在數學理論研究的重要工具。比方說,遞歸論應用於數學中不少判定問題的解決(著名的如羣論字問題的否定解決,Hilbert第十問題的否定解決);模型論應用與不少代數及分析數學問題的證明;公理集合論應用於不少數學問題獨立性的證明。
數理邏輯學的任務在於探討如何爲整個數學建立嚴格的邏輯基礎,其特點在於使用形式
化的方法包括公理化的方法,因而比較抽象和艱深,這種抽象化的方法除了在建立數學的基礎方面已經取得很大成功而外,還在計算機科學上有重要的應用。人工智能又稱機器智能,是計算機科學中一門新興的'邊緣學科,它採用人工技術和方法,研製智能機器或者智能系統以模仿、延伸和擴展人的智能,實現智能行爲、賦予機器模擬人處理問題的能力。
自17世紀德國數學家和哲學家Leibniz開創數理邏輯這門學科,至今,由於它採用數學符號化的方法,給出推理規則,建立推理體系,進而討論推理體系的一致性、可靠性和完備性,在現代的數學和計算機科學以及在自然科學和社會科學的一些研究中,數理邏輯都有着廣泛的應用。而在現在的大學教育中數理邏輯卻沒有得到其應有的重視,忽略了這門學科不僅提供了一種新的數學命題的論證途徑,更重要的是在培養科學、嚴謹的思維能力方面更有其獨到之處。在很多代數、集合論方面通常只給出了某些定理,但定理的證明運用本方向的知識卻沒法得到證明,只有依據了數理邏輯學方面的知識才得到理論上的支持,從而肯定其定理的正確性。
