《橢圓及其標準方程》教學設計

　　1、掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；

　　2、能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定係數法求橢圓的標準方程；

　　3、通過對橢圓概念的引入教學，培養學生的觀察能力和探索能力；

　　4、通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，並滲透數形結合和等價轉化的思想方法，提高運用座標法解決幾何問題的能力；

　　5、通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發學生學習數學的積極性，培養學生的學習興趣和創新意識、

　　教材分析　

　　1、知識結構　

　　2、重點難點分析　

　　重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式、難點是橢圓標準方程的建立和推導、關鍵是掌握建立座標系與根式化簡的方法　

　　橢圓及其標準方程這一節教材整體來看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程、橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用、先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然、學好橢圓對於學生學好圓錐曲線是非常重要的、　

　　（1）對於橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質，可以對比圓的定義來理解

　　另外要注意到定義中對“常數”的限定即常數要大於、這樣規定是爲了避免出現兩種特殊情況，即：“當常數等於時軌跡是一條線段；當常數小於時無軌跡”、這樣有利於集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質、但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性、

　　（2）根據橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：　

　　①曲線的方程依賴於座標系，建立適當的座標系，是求曲線方程首先應該注意的地方、應讓學生觀察橢圓的圖形或根據橢圓的定義進行推理，發現橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作爲座標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔、　

　　②設橢圓的焦距爲，橢圓上任一點到兩個焦點的距離爲，令，這些措施，都是爲了簡化推導過程和最後得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領會、

　　③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今後在求軌跡方程時經常遇到的問題，又是學生的難點、要注意說明這類方程的化簡方法：

　　①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；

　　②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側，並使其中一側只有一項、　

　　④教科書上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的座標都適合方程“而沒有證明，”方程的解爲座標的點都在橢圓上”、這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求、　

　　（3）兩種標準方程的橢圓異同點　

　　中心在原點、焦點分別在軸上，軸上的橢圓標準方程分別爲：

　　它們的相同點是：形狀相同、大小相同，

　　不同點是：兩種橢圓相對於座標系的位置不同，它們的焦點座標也不同、　

　　橢圓的焦點在軸上標準方程中項的分母較大；　

　　橢圓的焦點在軸上標準方程中項的分母較大、　

　　另外，形如中，只要同號，就是橢圓方程，它可以化爲、　

　　（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法、例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向學生說明，如果求得的`點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那麼這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓、　

　　教法建議　

　　（1）使學生了解圓錐曲線在生產和科學技術中的應用，激發學生的學習興趣、　

　　爲激發學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數，如書中所給的例子，還可以啓發學生尋找身邊與圓錐曲線有關的例子。　

　　例如，我們生活的地球每時每刻都在環繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位於橢圓的一個焦點上、如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行、人類發射人造地球衛星或人造行星就要遵循這個原理、相對於一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道、因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的、

　　（2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷　

　　爲了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但爲了節約課堂時間，教學時應安排讓學生課後親自動手切割圓錐形的蘿蔔、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識、　

　　（3）對橢圓的定義的引入，要注意藉助於直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。　

　　教師可從太陽、地球、人造地球衛星的運行軌道，談到圓蘿蔔的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的瞭解。

　　教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小於細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好後，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大於細線的長度），然後再請剛纔兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結出經驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的瞭解。　

　　（4）將提出的問題分解爲若干個子問題，藉助多媒體課件來體現橢圓的定義的實質　

　　在教學時，可以設置幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學過程中，可以提出“到兩定點的距離的和爲定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。　

　　（5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯繫　

　　在講解橢圓的定義時，就要啓發學生注意橢圓的圖形特徵，一般學生比較容易發現橢圓的對稱性，這樣在建立座標系時，學生就比較容易選擇適當的座標系了，即使焦點在座標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質）、雖然這時學生並不一定能說明白爲什麼這樣選擇座標系，但在有了一定感性認識的基礎上再講解選擇適當座標系的一般原則，學生就較爲容易接受，也向學生逐步滲透了座標法、　

　　（6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法、　

　　推導橢圓的標準方程時，由於列出的方程爲兩個跟式的和等於一個非零常數，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數高、項數多，教學時要注意化解難點，儘量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識、通過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：

　　（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；

　　（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，並使其中一邊只有一項、（爲了避免二次平方運算）　

　　（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程後，教師要啓發學生自己研究焦點在y軸上的'標準方程，然後鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識、　

　　（8）在學習新知識的基礎上要鞏固舊知識　　橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念、對於教材上在推出橢圓的標準方程後，並沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向學生說明並不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由於橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒有給出證明過程，但學生要注意並不是以後都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的纔可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析、　

　　（9）要突出教師的主導作用，又要強調學生的主體作用，課上儘量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養學生的團結協作的團隊精神。

一、教學內容解析

1、地位與作用：

本章是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》，是高中數學解析幾何的第二大部分。解析幾何是數學中一個重要的分支，它聯繫了數學中的數與形、代數與幾何等最基本對象之間的聯繫。在北師大版必修2中，學生已掌握了在平面直角座標系下研究直線和圓的方法，本章教材進一步利用三種基本圓錐曲線深化代數與幾何的關係。本章教材內容的順序是：橢圓→拋物線→雙曲線→曲線與方程。這樣安排的用意是，先學圓錐曲線，再學曲線與方程，這樣的順序更有利於學生的學習，符合學生從特殊到一般，具體到抽象的認知規律。在圓錐曲線的學習過程中，不斷的滲透曲線與方程的思想，爲學生理解並掌握“曲線與方程”這一概念奠定了基礎。

本節是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》第1節的內容，主要學習橢圓的定義、標準方程及其簡單的應用，分爲兩課時，本節課是第1課時，主要學習橢圓的定義及其標準方程。教材以橢圓爲基礎和重點說明了求方程並利用方程討論幾何性質的一般方法，然後在認知拋物線和雙曲線中得到了鞏固和應用，因此《橢圓及其標準方程》這一節課起到了承上啓下的作用。

2、教材處理順序

教材在橢圓的定義這個內容的安排上是：先從直觀上認識橢圓，再從畫法中提煉出橢圓的幾何特徵，由此抽象概括出橢圓的定義，最後是橢圓定義的簡單應用。這樣的安排不僅體現出《課程標準》中要求通過豐富的實例展開教學的理念，而且符合學生從具體到抽象的認知規律，有利於學生對概念的學習和理解。教材在本節內容中只研究了中心在原點，焦點在軸上的橢圓的標準方程，讓學生自己去歸納焦點在軸上的橢圓的標準方程。這樣的處理給學生提供了一次探究和交流的機會。有利於學生對拋物線標準方程的理解，有利於學生思維能力的提高和學習興趣的培養。

3、數學思想方法

本節內容蘊含了：數形結合思想、轉化化歸思想等。在推導橢圓標準方程過程中讓學生體會移項再平方去根號的方法。

二、教學目標和重難點

1、教學目標

（1）知識與技能目標：

①理解橢圓的定義；

②掌握的橢圓的標準方程。

（2）過程與方法目標：

①在橢圓定義的獲知和歸納中，進一步滲透數形結合的數學思想方法；

②通過橢圓標準方程的推導過程，鞏固用座標化的方法求動點的軌跡方程，同時體會含有兩個根式的化簡思路。

（3）情感、態度和價值觀：

①通過橢圓定義的歸納，培養學生髮現規律，認識規律並利用規律解決實際問題的能力；

②通過師生、生生合作學習，增強學生團隊協作能力，增強主動與他人合作交流的意識。

2、教學重點

（1）掌握橢圓的定義與相關概念；

（2）掌握橢圓的標準方程。

3、教學難點

橢圓標準方程的推導。

三、學情分析

1、學生已有的認知基礎

授課班級學生爲高二年級學生。

橢圓是圓錐曲線中基礎且重要的一種圖形，在實際生活中經常遇到。學生在高一對解析幾何有了初步的瞭解和認識，對於在平面直角座標系下的點座標及長度公式已掌握，具有一定的空間想象能力、抽象概括能力和推理運算的技能，有較好的學習習慣和方法。

2、學生存在的難點

學生在涉及到需要自己建立座標系，再研究推導出方程仍是一個難點。且之前未接觸過一個式子中含兩個根式相加的情況，故化簡是個問題。

3、突破策略

由教師引領學生觀察所繪出的橢圓的特點，定點位置，從而建立合適的直角座標系。

四、教學策略分析

1、內容突破策略

本節課新知內容分兩大板塊：一是總結概括出橢圓的定義；二是推導出橢圓的標準方程。針對第一板塊內容，主要採取學生先動手畫橢圓，在實踐的過程中發現一些固定不變的量和量與量之間存在的關係，從而總結出橢圓的定義，並且深刻領悟定義中所說的一些特別要求。針對第二板塊內容，主要是採取教師引導，學生動手，通過一般的求動點軌跡的方法推導出橢圓的標準方程，符合學生的認知規律。

2、啓迪學生思維策略：

在教學方法的選擇上，採用教師組織引導，學生動手實踐、自主探究、合作交流的學習方式，力求體現教師的引導者、合作者的作用，突出學生的主體地位。

五、教學過程

教學過程

設計意圖

一、創設情景，導入新課

1、讓學生觀察幾張典型圖片和行星在太陽系中的運動軌跡，由此看出一個共同的數學圖形“橢圓”。

2、大家還能舉出生活中你所遇到的橢圓嗎？

3、用多媒體演示一個嫦娥三號運行橢圓形軌道的例子。

1、使學生對橢圓有一個感性認識，明白生活實踐中有許多數學問題，數學來源於實踐，同時培養學生學會用數學的眼光去觀察周圍事物的能力。

2、通過提問激發學生課堂上的學習興趣。

二、橢圓的定義（分四個環節）

1、畫一畫（畫橢圓）

①將一條繩子的兩端固定在同一個定點上，用筆尖勾起繩子的中點使繩子繃緊，圍繞定點旋轉，筆尖形成的軌跡是什麼？

（由學生動手在黑板上進行演示，提高學生的動手能力，同時激起學生學習本節課的興趣）

②而將繩子的兩端分別固定在兩個定點上，筆尖勾直繩子，移動筆尖，得到的是軌跡是什麼？

（教師提問，讓學生動手，拿出提前準備好的毛線，兩組同學上黑板畫，其他同學同桌合作在練習本上畫）

動畫演示作圖過程

2、認一認（實驗總結）

提出問題：①作圖過程中，哪些量沒有變？哪些量變了？

提出問題：②爲什麼要求作圖過程中筆尖要繃緊？

提出問題：③筆尖所對應的動點M到定點的距離有什麼長度之間的關係？

總結：筆尖對應的動點M到直線兩個端點的長度之和固定不變。

3、說一說（總結定義）

提出問題：根據剛纔動手實踐的過程，能否總結橢圓的定義？（同學自由發言，再由學生進一步補充完善）

我們把平面內到兩個定點，的距離之和等於常數（大於）的點的集合叫作橢圓。

問題1：定義中的常數等於，則動點的軌跡是什麼？

問題2：定義中的常數小於，則動點的軌跡是什麼？

4、橢圓相關概念：兩個定點，叫作橢圓的焦點，兩個焦點，間的距離叫作橢圓的焦距。

1、給學生提供一個動手、動腦的學習機會；

2、學生可通過動手實踐的過程去體會“滿足什麼樣的條件下的點的集合爲橢圓”，從而對橢圓定義中的條件有直觀深刻的認識。

3、通過三個問題的設置，爲學生從畫法中發現拋物線的幾何特徵奠定基礎。

4、通過三個典型的問題，讓學生更深刻地理解橢圓的定義

5、使學生經歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質的認識，並逐漸養成嚴謹的科學作風。

三、橢圓的標準方程

1、求一求（推導橢圓的標準方程）

問題3：回顧圓的軌跡方程是如何求的？

①建系：

②設點：

③列式：得：

④化簡：

問題4：以怎樣的建系方式，哪一種針對求橢圓的標準方程比較好？

（補充說明：橢圓具有一定的對稱美，故所求的式子最好簡潔工整）

動手演算：讓學生動手，求推導焦點在軸上的橢圓的標準方程

①建系：觀察橢圓的幾何特徵，如何建系能使方程更簡潔？（利用橢圓的對稱性特徵）

以直線爲軸，以線段的垂直平分線爲軸，建立平面直角座標系、

②設點：設焦距爲，則、設爲橢圓上任意一點，點與點的距離之和爲、

③列式：動點滿足的幾何約束條件:

座標化爲：

④化簡：化簡橢圓方程是本節課的難點，突破難點的方法是引導學生思考如何去根號

2、問一問

問題5：焦點在軸上的橢圓的標準方程是什麼？

（由學生動手列式，，引導學生觀察焦點在軸上與焦點在軸上式子的差異，從而用類比的方法得到焦點在軸上橢圓的標準方程）

如果橢圓的焦點在軸上，其焦點座標爲，，用同樣的方法可以推出它的標準方程

問題6：如何用幾何圖形解釋？在橢圓中分別表示哪些線段的長？

1、讓學生由圓的標準方程的推導過程，類比的推導橢圓的標準方程。

2、橢圓方程不止一種，建立的座標系不同，橢圓方程的表達形式也不同，在高中階段只掌握焦點在座標軸上的橢圓的標準方程。

3、進一步熟悉用座標法求動點軌跡方程的方法，掌握化簡含根號等式的方法，提高運算能力，養成不怕困難的鑽研精神，感受數學的簡潔美、對稱美

4、數形結合的思想的靈活應用，進一步深化鞏固數學思想方法

做好準備，以備個別學生想到此種方法

四、課堂探究

探究一：判斷分別滿足下列條件的動點的軌跡是否爲橢圓

（1）到點和點的距離之和爲6的點的軌跡；（是）

（2）到點和點的距離之和爲4的點的軌跡；（不是）

（3）到點和點的距離之和爲3的點的軌跡；（不是）

(4).已知橢圓的標準方程爲，請填空：a=_____,b=_____,c=_____,焦點座標爲_________________,焦距等於_________.

探究二：判定下列橢圓的標準方程在哪個軸上，並寫出焦點的座標

（1）（在軸上，焦點爲，）

（2）（在軸上，焦點爲，）

（3）（在軸上，焦點爲，）

1、鞏固橢圓的定義

2、通過本題的練習，使學生能加深橢圓的焦距與標準方程之間關係的理解，同時會求標準方程的基本量，教學時應引導學生逐層深入，養成求橢圓標準方程先看焦點位置的良好習慣。

五、課堂小結

問題：這節課你學到了什麼？請談談你的收穫.

1、知識內容收穫：一個定義（橢圓的定義）；兩個方程（橢圓的兩種標準方程）；及橢圓中之間的關係。

2、學習過程收穫：

①鞏固了動點的軌跡方程的求法；

②通過推導橢圓的標準方程的過程，學會了兩個根式相加的式子的化簡方法，同時提高了自己的運算能力。

3、數學思想和方法：數形結合思想；轉化化歸思想；分類討論思想。

目的：培養學生的概括總結能力

六、課後鞏固練習

1、課後思考：當把橢圓的兩個焦點合二爲一了後，得到的圖形是什麼？你能總結出什麼樣的規律？

2、書面作業：

課本練習2:1,2,3

是對本節課新知內容及學習方法的鞏固，同時啓發學生思考，讓學生更有興趣繼續研究橢圓

七、板書設計

橢圓及其標準方程

一、畫橢圓

二、定義：

註明：

①若，則點的軌跡不存在；

②若，則軌跡爲線段

三、橢圓的標準方程

焦點在軸上時，

焦點在軸上時，

八、設計感想

上本節課前本人閱讀了大量圓錐曲線的知識，對各種不同的橢圓定義引題進行了分析比較，通過各位同事耐心的指導和多次的討論，最終採用了以現實生活中橢圓的應用引入，充分展現了知識的形成過程，有利於學生自主探究與創新意識的培養。但在設計過程仍遇到很多我無法解決的問題，比如如何將圓錐曲線背景知識融入到課堂；如何用幾何畫板將紙張的翻折更形象的演示等等。如何加以改進，這是在後續教學中需要思考的問題。這也反映了我在新課程面前的不足，認識到教師自身專業發展與能力提高的重要性與緊迫感；認識到新課程下的教師不再是靜態的蠟燭、明燈抑或是航標，而是一名充滿激情的主持人，一名銳意進取的先行者這樣一個角色的轉換；認識到新課改的成功要從我做起，從現在做起！