二元一次方程組是從實際生活中抽象出來的數學模型，它是解決實際問題的有效途徑，更是今後學習的重要基礎.它是在一元一次方程的基礎上來進一步研究末知量之問的關係的，教材通過實例引入方程組的概念，同時引入方程組解的概念，並探索二元一次方程組的解法，具體研究二元一次方程組的實際應用.
本章學習重難點
【本章重點】會解二元一次方程組，能夠根據具體問題中的數量關係列出方程組.
【本章難點】列方程組解應用性的實際問題.
【學習本章應注意的問題】
在複習解一元一次方程時，明確一元一次方程化簡變形的原理，類比學習二元一次方程組、三元一次方程組的解法，同時在學習二元一次方程組、三元一次方程組的解法時，要認真體會消元轉化的思想原理，在學習用方程組解決突際問題時，要積極探究，多多思考，正確設未知數，列出恰當的方程組，從而解決實際問題.
中考透視
在考查基礎知識、基本能力的題目中，單獨知識點考查類題目及多知識點綜合考查類題目經常出現，在實際應用題及開放題中大量出現.所以在學習本章內容的過程中一定要結合其他相應的知識與方法，本章是中考的重要考點之一，圍繞簡單的二元一次方程組的解法命題，能根據具體問題的數量關係列出二元一次方程組，體會方程是描述現實世界的一個有效模型，並根據具體問題的實際意義用觀察、體驗等手段檢驗結果是否合理.考試題型以選擇題、填空題、應用題、開放題以及綜合題爲主，高、中、低檔難度的題目均有出現，佔4～7分.
知識網絡結構圖
專題總結及應用
一、知識性專題
專題1 運用某些概念列方程求解
【專題解讀】在學習過程中，我們常常會遇到二元一次方程的未知數的指數是一個字母或關於字母的代數式，讓我們求字母的值，這時巧用定義，可簡便地解決這類問題
例1 若 =0,是關於x,y的二元一次方程,則a=_______,b=_______.
分析 依題意,得 解得
答案:
【解題策略】準確地掌握二元一次方程的定義是解此題的關鍵.
專題2 列方程組解決實際問題
【專題解讀】方程組是描述現實世界的有效數學模型,在日常生活、工農業生產、城市規劃及國防領域都有廣泛的應用，列二元一次方程組的關鍵是尋找相等關係，尋找相等關係應以下兩方面入手;(1)仔細審題，尋找關鍵詞語;(2)採用畫圖、列表等方法挖掘相等關係.
例2 一項工程甲單獨做需12天完成，乙單獨做需18天完成，計劃甲先做若干後離去，再由乙完成，實際上甲只做了計劃時間的一半因事離去，然後由乙單獨承擔，而乙完成任務的時間恰好是計劃時間的2倍，則原計劃甲、乙各做多少天?
分析 由甲、乙單獨完成所需的時間可以看出甲、乙兩人的工作效率，設總工作量爲1，則甲每天完成 ，乙每天完成 .
解：設原計劃甲做x天，乙做y天，則有
解這個方程組，得
答：原計劃甲做8天，乙做6天.
【解題策略】若總工作量沒有具體給出，可以設總工作量爲單位1，然後由時間算出工作效率，最後利用工作量=工作效率工作時間列出方程.
二、規律方法專題
專題3 反覆運用加減法解方程組
【專題解讀】反覆運用加減法可使係數較大的方程組轉化成係數較小的方程組，達到簡化計算的目的'.
例3 解方程組
分析 當方程組中未知數的係數和常數項較大時,注意觀察其特點,不要盲目地利用加減法或代入法進行消元,可利用反覆相加或相減得到係數較小的方程組,再求解.
解:由①-②,得x-y=1,③
由①+②,得x+y=5,④
將③④聯立,得
解得 即原方程組的解爲
【解題策略】此方程組屬於 型,其中| - |=k|a-b|, + =m|a+b|,k,m爲整數.因此這樣的方程組通過相加和相減可得到 型方程組,顯然後一個方程組容易求解.
專題4 整體代入法解方程組
【專題解讀】結合方程組的形式加以分析,對於用一般代入法和加減法求解比較繁瑣的方程組,靈活靈用整體代入法解題更加簡單.
例4 解方程組
分析 此方程組中,每個方程都缺少一個未知數,且所缺少的未知數又都不相同,每個未知數的係數都是1,這樣的方程組若一一消元很麻煩,可考慮整體相加、整體代入的方法.
解:①+②+③+④,得3(x+y+z+m)=51,
即x+y+z+m=17,⑤
⑤-①,得m=9,⑤-②,得z=5.
⑤-③,得y=3,⑤-④,得x=0.
所以原方程組的解爲
專題5 巧解連比型多元方程組
【專題解讀】連比型多元方程組通常採用設輔助未知數的方法來求解.
例5 解方程組
解:設 ,
則x+y=2k,t+x=3k,y+t=4k,
三式相加,得x+y+t= ,
將x+y+t= 代入②,得 =27,
所以k=6,所以
②-⑤,得x=3,②-④,得y=9,②-③,得t=15.
所以原方程組的解爲
三、思想方法專題
專題6 轉化思想
【專題解讀】對於直接解答有難度或較陌生的題型，可以根據條件，將其轉化成易於解答或比較常見的題型.
例6 二元一次方程x+y=7的非負整數解有 ( )
A.6個
B.7個
C.8個
D.無數個
分析 將原方程化爲y=7-x,因爲是非負整數解,所以x只能取0,1,2,3,4,5,6,7,與之對應的y爲7,6,5,4,3,2,1,0,所以共有8個非負整數解.故選C.
【解題策略】對二元一次方程求解時,往往需要用含有一個未知數的代數式表示出另一個未知數,從而將求方程的解的問題轉化爲求代數式的值的問題.
專題7 消元思想
【專題解讀】 將未知數的個數由多化少,逐一解決的思想即爲消元思想.
例7 解方程組
分析 解三元一次方程組可類比解二元一次方程組的代入法和加減法,關鍵是消元，把三元變爲二元，再化二元爲一元，進而求解.
解法1:由③得z=2x+2y-3.④
把④代入①,得3x+4y+2x+2y-3=14,
即5x+6y=17.⑤
把④代入②,得x+5y+2(2x+2y-3)=17,
即5x+9y=23.⑥
由⑤⑥組成二元一次方程組 解得
把x=1,y=2代入④,得z=3.
所以原方程組的解爲
解法2:由①+③,得5x+6y=17.⑦
由②+③2,得5x+9y=23.⑧
同解法1可求得原方程組的解爲
解法3:由②+③-①,得3y=6,所以y=2.
把y=2分別代入①和③,得 解得
所以原方程組的解爲
【解題策略】消元是解方程組的基本思想,是將複雜問題簡單化的一種化歸思想,其目的
是將多元的方程組逐步轉化爲一元的方程,即三元 二元 一元.
