第一章集合與函數概念
一、集合有關概念
1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成爲一個集合,其中每一個對象叫元素.
2、集合的中元素的三個特性：
1.元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無序性
說明：(1)對於一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素.
(2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素.
(3)集合中的元素是平等的,沒有先後順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣.
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性.
3、集合的表示：
{ … }如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
2．集合的表示方法：列舉法與描述法.
注意啊：常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集）記作：N
正整數集 N*或 N+整數集Z有理數集Q實數集R
關於“屬於”的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就說a屬於集合A記作 a∈A ,相反,a不屬於集合A記作 a?A
列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,然後用一個大括號括上.
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法.用確定的條件表示某些對象是否屬於這個集合的方法.
①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分類：
1．有限集含有有限個元素的集合
2．無限集含有無限個元素的集合
3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
第I卷（選擇題）
1.設集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，則U（A∩B）=
A．{1，4，5}B．{2，3}C．{4，5}D．{1，5}
2.設集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，則A∪B=
A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3]C．D．
3.若全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2}，N={2，3，4}，則（UM）∩N等於
A．{1}B．{2}C．{3，4}D．{5}
4.已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，則A∩B等於
A．{0}B．{2}C．φD．φ
5.設集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，若A∪B=A，則實數m的取值範圍爲．
A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）
6.已知集合A={1，2，3}，B={0，1，2}，則A∩B的子集個數爲
A．2B．3C．4D．16
7.如果集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一個元素則a的值是
A．0B．0或1C．﹣1D．0或﹣1
8.已知集合M={x|（x﹣1）=0}，那麼
A．0∈MB．1MC．﹣1∈MD．0M
9.設A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠，則a的取值範圍是
A．a＜2B．a＞﹣2C．a＞﹣1D．﹣1＜a≤2
10.以下五個寫法中：①{0}∈{0，1，2}；②{1，2}；③{0，1，2}={2，0，1}；④0∈；⑤A∩=A，正確的個數有
A．1個B．2個C．3個D．4個
11.集合{1，2，3}的真子集的個數爲
A．5B．6C．7D．8
12.已知3∈{1，a，a﹣2}，則實數a的'值爲
A．3B．5C．3或 5D．無解
13.已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+2=0}，若BA，則實數a的所有可能取值的集合爲
A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，2}D．{﹣2，0，2}
14.設所有被4除餘數爲k（k=0，1，2，3）的整數組成的集合爲Ak，即Ak={x|x=4n+k，n∈Z}，則下列結論中錯誤的是A．2016∈A0B．﹣1∈A3C．a∈Ak，b∈Ak，則a﹣b∈A0D．a+b∈A3，則a∈A1，b∈A2
二、填空題
16.已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若BA，則實數m= ．17.對於任意集合X與Y，定義：①X﹣Y={x|x∈X且xY}，②X△Y=（X﹣Y）∪（Y﹣X），（X△Y稱爲X與Y的對稱差）．已知A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|x2﹣9≤0}，則A△B=．
18.函數y=的定義域爲A，值域爲B，則A∩B=．
19.若集合爲{1，a，}={0，a2，a+b}時，則a﹣b= ．20.用M[A]表示非空集合A中的元素個數，記|A﹣B|=，若A={1，2，3}，B={x||x2﹣2x﹣3|=a}，且|A﹣B|=1，則實數a的取值範圍爲．
三、解答題
21.已知不等式x2+mx+3≤0的解集爲A=[1，n]，集合B={x|x2﹣ax+a≤0}．
（1）求m﹣n的值；
（2）若A∪B=A，求a的取值範圍．
22.已知函數f（x）的定義域爲（0，4），函數g（x）=f（x+1）的定義域爲集合A，集合B={x|a＜x＜2a﹣1}，若A∩B=B，求實數a的取值範圍．
23.已知A={x|x2+x＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B=R，求a、b的值．24.已知集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，（UA）∩B={﹣2}，求實數p、q、r的值．
25.已知元素爲實數的集合S滿足下列條件：①0S，1S；②若a∈S，則∈S．
（Ⅰ）若{2，﹣2}S，求使元素個數最少的集合S；
（Ⅱ）若非空集合S爲有限集，則你對集合S的元素個數有何猜測？並請證明你的猜測正確．
26.已知集合A={x|x2﹣3x﹣4≤0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}，C={y|y=2x+b，x∈R}
（1）若A∩B=[0，4]，求實數m的值；
（2）若A∩C=，求實數b的取值範圍；
（3）若A∪B=B，求實數m的取值範圍．
試卷答案
1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.D 8.D 9.C 10.B 11.C 12.B 13.D 14.D 16.1
17.[﹣3，﹣1）∪（3，+∞）
18.[0，2]
19.﹣1
20.0≤a＜4或a＞4
21.（1）利用韋達定理，求出m，n，即可求m﹣n的值；
（2）若A∪B=A，BA，分類討論求a的取值範圍．
【解答】解：（1）∵不等式x2+mx+3≤0的解集爲A=[1，n]，
∴，∴m=﹣4，n=3，
∴m﹣n=﹣7；
（2）A∪B=A，∴BA．
①B=，△=a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4；②B≠，設f（x）=x2﹣ax+a，則，∴4≤a≤，
綜上所述，0＜a≤．
22.【解答】解：要使g（x）有意義，則：0＜x+1＜4，
∴﹣1＜x＜3，
∴A={x|﹣1＜x＜3}；
∵A∩B=B，
∴BA；
①若B=，滿足BA，
則a≥2a﹣1，解得a≤1；
②若B≠，則，
解得1＜a≤2；
綜上，實數a的取值範圍是（﹣∞，2]．
23.【解答】解：集合A={x|x2+x＞0}={x|x＜﹣1或x＞0}∴﹣1，2是方程x2+ax+b=0的兩個根，
∴a=﹣1，b=﹣2
即a，b的值分別是﹣1，﹣2．
24.【解答】解：集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，
∴1+p+1=0，解得p=﹣2；
又1+q+r=0，①
（UA）∩B={﹣2}，
∴4﹣2q+r=0，②
由①②組成方程組解得q=1，r=﹣2；
∴實數p=﹣2，q=1，r=﹣2．
本題考查了集合的定義與應用問題，是基礎題目．
25.【解答】解：（Ⅰ）2∈S，則﹣1∈S，∈S，可得2∈S；﹣2∈S，則∈S，∈S，可得﹣2∈S，
∴{2，﹣2}S，使元素個數最少的集合S爲{2，﹣1，，﹣2，， }．
（Ⅱ）非空有限集S的元素個數是3的倍數．
證明如下：
（1）設a∈S則a≠0，1且a∈S，則∈S， =∈S， =a∈S
假設a=，則a2﹣a+1=0（a≠1）m無實數根，故a≠．
同理可證a，，兩兩不同．
即若有a∈S，則必有{a，， }S．
（2）若存在b∈S（b≠a），必有{b，， }S．{a，， }∩{b，， }=．
於是{a，，，b，， }S．
上述推理還可繼續，由於S爲有限集，故上述推理有限步可中止，
∴S的元素個數爲3的倍數．
26.【解答】解：（1）由A中不等式變形得：（x﹣4）（x+1）≤0，
解得：﹣1≤x≤4，即A=[﹣1，4]；
由B中不等式變形得：（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）≤0，
解得：m﹣3≤x≤m+3，即B=[m﹣3，m+3]，
∵A∩B=[0，4]，
∴，
解得：m=3；
（2）∵由C中y=2x+b＞b，x∈R，得到C=（b，+∞），且A∩C=，A=[﹣1，4]，
∴實數b的範圍爲b≥4；
（3）∵A∪B=B，
∴AB，
∴，
解得：1≤m≤2．
