【學習導航】
知識網絡
映射
學習要求
1、瞭解映射的概念,能夠判定一些簡單的對應是不是映射。
2、通過對映射特殊化的分析,揭示出映射與函數之間的內在聯繫。
自學評價
1、對應是兩個集合元素之間的一種關係,對應關係可用圖示或文字描述來表示。
2、一般地設A、B兩個集合,如果按某種對應法則f,對於A中的每一個元素,在B中都有唯一的元素與之對應,那麼,這樣的單值對應叫做集合A到集合B的映射,記作:f:A→B
3、由映射的概念可以看出,映射是函數概念的推廣,特殊在函數概念中,A、B爲兩個非空數集。
【精典範例】
一、判斷對應是否爲映射
例1、下列集合M到P的對應f是映射的是( )
A.M={-2,0,2},P={-1,0,4},f:M中數的平方
B.M={0,1},P={-1,0,1},f:M中數的平方根
C.M=Z,P=Q,f:M中數的倒數。
D.M=R,P=R+,f:M中數的平方
【解】:
判定對應f:A→B是否是映射,關鍵是看是否符合映射的定義,即集合A中的每一個元素在B中是否有象且唯一,若不是映射只要舉一反例即可。
答案:選擇A
二、映射概念的應用
例2、已知集合A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:A→B是從A到B的映射,f:x→(x+1,x2+1),求A中的元素 在B中的象和B中元素( , )在A中的原象。
思維分析:將x= 代入對應關係,可求出其在B中對應元素,( , )在A中對應的元素可通過列方程組解出。
【解】:
將x= 代入對應關係,可求出其在B中的對應元素( +1,3). 可通過列方程組也可求出( , )在A中對應的元素爲
三、映射與函數的關係
例3、給出下列四個對應的關係
①A=N*,B=Z,f:x→y=2x-3;
②A={1,2,3,4,5,6},B={y|y∈N*,y≤5},f:x→y=|x-1|;
③A={x|x≥2},B={y|y=x2-4x+3},f:x→y=x-3;
④A=N,B={y∈N*|y=2x-1,x∈N*},f:x→y=2x-1。
上述四個對應中是函數的有( )
A.① B.①③ C.②③ D.③④
思維分析:判斷兩個集合之間的.對應是否構成函數,首先應判斷能否構成映射,且構成映射的兩個集合之間對應必須是非空數集之間的對應。
【解】:
①中,對x∈A,在f作用下,在B中都有唯一的象,因此能構成映射.由於A、B均爲非空數集,因而能構成函數;②中,當x=1時,y=0 B,即集合A中的元素1在集合B中無象,因而不能構成映射,從而也不能構成函數;④中,當x=0時,y=-1 B,即0在B中無象,因而不能構成映射,也就不能構成函數;③中的兩個對應符合映射的定義,且兩個集合均爲非空數集,因而能構成函數。
答案:B
【選修延伸】
求映射的個數問題
例4、已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B滿足f(a)+f(b)=f(c),求映射f: A→B的個數。
思維分析:可讓A中元素在f下對應B中的一個、兩個或三個元素,並且滿足f(a)+f(b)=f(c),需分類討論。
【解】:(1)當A中三個元素都是對應0時,則f(a)+f(b)=0+0=0=f(c)有1個映射。
(2)當A中三個元素對應B中兩個時,滿足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4個,分別爲1+0=0,0+1=0,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1.
(3)當A中的三個元素對應B中的三個元素時,有兩個映射,分別爲(-1)+1=0,1+(-1)=0.
因此滿足題設條件的映射有7個。
追蹤訓練
1、下列對應是A到B上的映射的是( )
A.A=N*,B=N*,f:x→|x-3|
B.A=N*,B={-1,1, -2},f:x→(-1)x
C.A=Z,B=Q,f:x→
D.A=N*,B=R,f:x→x的平方根
答案:B
2、設f:A→B是集合A到B的映射,下列命題中是真命題的是( )
A.A中不同元素必有不同的象
B.B中每一個元素在A中必有原象
C.A中每一個元素在B中必有象
D.B中每一個元素在A中的原象唯一
答案:C
3、已知映射f: A→B,下面命題:
(1)A中的每一個元素在B中有且僅有一個象;
(2)A中不同的元素在B中的象必不相同;
(3)B中的元素在A中都有原象
(4)B中的元素在A中可以有兩個以上的原象也可以沒有原象。
假命題的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
4、已知映射f: A→B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中元素都是A中的元素在映射f下的象,且對任意a∈A,在B中和它對應的元素是|a|,則集合B中的元素的個數是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案:A
5、若f:y=3x+1是從集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一個映射,該映射滿足B中任何一個元素均有原象,求自然數a、k及集合A、B.
答案:a=2, k=5, A={1,2,3,5} B={4,7,10,16}
