圓的認識教學片段及反思
“圓的認識”一課選自小學數學教材第11冊，是在學生認識了長方形、正方形、三角形等多種平面圖形的基礎上展開，也是小學階段認識的最後一種常見的平面圖形。教材的編排思路是先借助實物揭示出“圓”，讓學生感受到圓與現實的密切聯繫，再引導學生藉助“實物”、“圓規”等多種方式畫圓，初步感受圓的特徵，並掌握用圓規畫圓的方法，在此基礎上，再引導學生通過折一折、畫一畫、量一量等活動，幫助學生認識直徑、半徑、圓心等概念，同時掌握圓的基本特徵。這樣的編排，學生對於圓的相關概念及特徵的理解和把握一般都是建立在教師的明確指引和調控之下，學生相對獨立的探索空間不夠，而與此同時，學生對於圓所內涵的文化特性也無從感受、體驗，對於圓在歷史、文化、數學發展過程中與人類結下的不解之緣感受不深。
基於這樣的認識，我試圖對本課的教學思路進行重新調整：一方面，通過拓展空間，將學生進一步置身於探索者、發現者的角色，引導學生在認識完圓的一些基本概念後，自主展開對於圓的特徵的發現，並在交流對話中完善相應的認知結構；另一方面，我又藉助媒體，將自然、社會、歷史、數學等各個領域中的“圓”有效整合進本課教學，充分放大圓所內涵的文化特性，努力折射“冰冷”圖形背後所散發的獨特魅力。
想起美國學者澤布羅夫斯基，曾因爲“在凝望波濤的時候”而產生了寫作《圓的歷史》這一迷人著作的衝動，而我――一個普通的年輕教師，又是如何想起要在自己的課堂裏打破常規、衝破樊籬，演繹“走進圓的世界”這一多少有些另類的教學案例的呢？如今回想起來，是平靜水面上漾起的一圈圈漣漪？是陽光下朵朵綻放的金色向日葵？是慈母心中那輪永恆的明月？是“長河落日圓”中夕陽下落日的餘輝？是偉大思想家墨子筆下“圓，一中同長也”和數學鉅著《周髀算經》中“圓出於方，方出於矩”的召喚？是古老的陰陽太極圖所給予的神祕誘惑？是“沒有規矩，不成方圓”這一古訓背後的力量？還是西方數學哲學中“圓是最美的圖形”所帶來的無限誘惑？似乎都是，又不完全是。只是有一種莫明的衝動，一直縈繞心頭，那就是：怎樣讓數學課堂再厚重些、開闊些、深邃些、美麗些……藉此，想到了圓，繼而，便有了“走進圓的世界”這一大膽嘗試。
●過程描述
［一］
師：對於圓，同學們一定不會感到陌生吧？（是）生活中，你們在哪兒見到過圓形？
生：鐘面上有圓。
生：輪胎上有圓。
生：有些鈕釦也是圓的。
……
師：今天，張老師也給大家帶來一些。見過平靜的水面嗎，（見過。）如果我們從上面往下丟進一顆小石子（播放動態的水紋，並配以石子入水的聲音），你發現了什麼？
生：（激動地）水紋、水紋、圓……（聲音此起彼伏）
師：其實這樣的現象在大自然中隨處可見，讓我們一起來看看。（伴隨着優美的音樂，陽光下綻放的向日葵、花叢中五顏六色的鮮花、光折射後形成的美妙光環、用特殊儀器拍攝到的電磁波、雷達波、月球上的環形山等畫面一一展現在學生的眼前，見圖①）從這些現象中，你同樣找到圓了嗎？
圖①
生：（驚異地，慨嘆地）找到了。
師：有人說，因爲有了圓，我們的世界才變得如此美妙而神奇。今天這節課，就讓我們一起走進圓的世界，去探尋其中的奧祕，好嗎？
生：（激動地）好！
［二］
師：俗話說，“沒有規矩，不成方圓”。意思是說，如果沒有圓規，是――
生：――畫不出圓的。
師：同學們都準備了一把圓規，你能試着用它在白紙上畫出一個圓嗎？
生：能。
（學生嘗試用圓規畫圓，交流，明確圓規畫圓的基本方法。）
師：可要是真沒有了圓規，比如在圓規發明之前，我們就真畫不出一個圓了嗎？
生：不可能。
師：今天，每個小組還準備了很多其他的材料。你能利用這些材料，試着畫出一個圓嗎？
生：能。
（學生以小組爲單位，利用手中的工具和材料畫圓。）
師：張老師發現，每個小組都有了各自精彩的創造。讓我們一起來分享。
生：我們組將圓形的瓶蓋按在白紙上，沿着瓶蓋的外框畫了一個圓。
師：那叫“拷貝不走樣”。（生笑）
生：我們手中的三角板中就有一個圓形窟窿，利用它，很方便地畫出了一個圓。
師：真可謂就地取材，挺好！（笑）
生：我們組在繩子的一端系一支鉛筆，另一端固定在白紙上，繩子繃緊，將鉛筆繞一圈，也畫出了一個圓。
師：看得出，你們組的創作已經初步具備了圓規的雛形。
生：我們組在繩子的一端繫上一塊橡皮，抓住繩子的另一端一甩，也同樣出現了一個圓。
師：儘管這一方法沒有能在白紙上最終“畫”出一個圓，但他們的創造仍然是十分美妙的，不是嗎？（生熱烈鼓掌）
師：可是，既然不用圓規，我們依然創造出了這麼多畫圓的方法，那麼俗語中爲什麼還會有“沒有規矩，不成方圓”的說法呢？
生：我想，大概是古時候的人們沒想到這些方法吧？（生笑）
生：我覺得不是這樣，因爲，或許一開始，“沒有規矩，不成方圓”指的是沒有圓規和“矩”畫不出方和圓，但是流傳到後來，它的意思已經發生了改變，不再僅僅指原來的意思了，而是指很多事情，必須要講究規矩，遵循章法。（不少同學投以讚許的目光）
師：真沒想到，一條普通的數學規律，經過千年流傳，竟逐漸成爲我們生活中一條重要的人生準則。當然，同學們能夠利用各自的智慧，成功演繹“沒有規矩，仍成方圓”，足以說明大家不凡的創造力了。
［三］
（通過自學，學生認識完半徑、直徑、圓心等概念後。）
師：學到現在，關於圓，該有的知識我們也探討得差不多了。那你們覺得還有沒有什麼值得我們深入地去研究？
生：有（自信地）。
師：說得好，其實不說別的，就圓心、直徑、半徑，還蘊藏着許多豐富的規律呢，同學們想不想自己動手來研究研究？（想！）同學們手中都有圓片、直尺、圓規等等，這就是咱們的研究工具。待會兒就請同學們動手摺一折、量一量、比一比、畫一畫，相信大家一定會有新的發現。兩點小小的建議：第一，研究過程中，別忘了把你們組的結論，哪怕是任何細小的發現都記錄在學習紙上，到時候一起來交流。第二，實在沒啥研究了，別急，老師還爲每一小組準備一份研究提示，到時候打開看看，或許對大家的研究會有所幫助。
（隨後，伴隨着優美的音樂，學生們以小組爲單位，展開研究，並將研究的成果記錄在教師提供的“研究發現單”上，並在小組內先進行交流）
師：光顧着研究也不行，我們還得善於將自己的發現和大家一起交流、一起分享，你們說是嗎？（是）很多小組都向張老師推薦了他們剛纔的研究發現，張老師從中選擇了一部分。下面，就讓我們一起來分享大家的發現吧！
生：我們小組發現圓有無數條半徑。
師：能說說你們是怎麼發現的嗎？
生：我們組是通過折發現的。把一個圓先對摺，再對摺、對摺，這樣一直對摺下去，展開後就會發現圓上有許許多多的半徑。
生：我們組是通過畫得出這一發現的。只要你不停地畫，你會在圓裏畫出無數條半徑。
生：我們組沒有折，也沒有畫，而是直接想出來的。
師：噢？能具體說說嗎？
生：因爲連接圓心和圓上任意一點的線段叫做圓的半徑，而圓上有無數個點（邊講邊用手在圓片上指），所以這樣的線段也有無數條，這不正好說明半徑有無數條嗎？
師：看來，各個小組用不同的方法，都得出了同樣的發現。至少直徑有無數條，還需不需要再說說理由了？
生：不需要了，因爲道理是一樣的。
師：關於半徑或直徑，還有哪些新發現？
生：我們小組還發現，所有的半徑或直徑長度都相等。
師：能說說你們的想法嗎？
生：我們組是通過量發現的。先在圓裏任意畫出幾條半徑，再量一量，結果發現它們的長度都相等，直徑也是這樣。
生：我們組是折的。將一個圓連續對摺，就會發現所有的半徑都重合在一起，這就說明所有的半徑都相等。直徑長度相等，道理應該是一樣的。
生：我認爲，既然圓心在圓的正中間，那麼圓心到圓上任意一點的距離應該都相等，而這同樣也說明了半徑處處都相等。
生：關於這一發現，我有一點補充。因爲不同的圓，半徑其實是不一樣長的。所以應該加上“在同一圓內”，這一發現才準確。
師：大家覺得他的這一補充怎麼樣？
生：有道理。
師：看來，只有大家互相交流、相互補充，我們才能使自己的發現更加準確、更加完善。還有什麼新的發現嗎？
生：我們小組通過研究還發現，在同一個圓裏，直徑的長度是半徑的兩倍。
師：你們是怎麼發現的？
生：我們是動手量出來的。
生：我們是動手摺出來的。
生：我們還可以根據半徑和直徑的意義來想，既然叫“半徑”，自然應該是直徑長度的一半嘍……
師：看來，大家的想象力還真豐富。
生：我們組還發現圓的大小和它的半徑有關，半徑越長，圓就越大，半徑越短，圓就越小。
師：圓的大小和它的半徑有關，那它的位置和什麼有關呢？
生：應該和圓心有關，圓心定哪兒，圓的位置就在哪兒了。
生：我們組還發現，圓是世界上最美的圖形。
師：能說說你們是怎樣想的嗎？
生：生活中，我們到處都能找到圓。如果沒有了圓，我們生活的世界一定會缺乏生機
生：我們生活的世界需要圓，如果沒有了圓，車子就沒法自由的行駛……
師：當然，張老師相信，同學們手中一定還有更多精彩的發現，沒來得及展示。沒關係，那就請大家下課後將剛纔的發現剪下來，貼到教室後面的數學角上，讓全班同學一起來交流，一起來分享，好嗎？
生：好。
［四］
師：其實，早在二千多年前，我國古代就有了關於圓的精確記載。墨子在他的著作中這樣描述道：“圓，一中同長也。”所謂一中，就是指一個――
生：圓心。
師：那同長又指什麼呢？大膽猜猜看。
生：半徑一樣長。
生：直徑一樣長。
師：這一發現，和剛纔大家的發現怎麼樣？
生：完全一致。
師：更何況，我古代這一發現要比西方整整早一千多年。聽到這裏，同學們感覺如何？
生：特別的自豪。
生：特別的驕傲。
生：我覺得我國古代的人民非常有智慧。
師：其實，我國古代關於圓的研究和記載還遠不止這些。老師這兒還蒐集到一份資料，《周髀算經》中有這樣一個記載，說“圓出於方，方出於矩”，所謂圓出於方，就是說最初的圓形並不是用現在的這種圓規畫出來的，而是由正方形不斷地切割而來的（動畫演示：圓向方的漸變過程，如圖②）。現在，如果告訴你正方形的邊長是6釐米，你能獲得關於圓的哪些信息？
圖②
生：圓的直徑是6釐米。
生：圓的半徑是3釐米。
師：說起中國古代的圓，下面的這幅圖案還真得介紹給大家（出示圖③），認識嗎？
生：陰陽太極圖。
師：想知道這幅圖是怎麼構成的嗎？（想！）原來它是用一個大圓和兩個同樣大的小圓組合而成的（出示圖④）。現在，如果告訴你小圓的半徑是3釐米，你又能知道什麼呢？
圖③ 圖④
生：小圓的直徑是6釐米。
生：大圓的半徑是6釐米。
生：大圓的直徑是12釐米。
生：小圓的直徑相當於大圓的半徑。
……
師：看來，只要我們善於觀察，善於聯繫，我們還能獲得更多有用的信息。現在讓我們重新回到現實生活中來。平靜的水面丟進石子，蕩起的波紋爲什麼是一個個圓形？現在，你能從數學的角度簡單解釋這一現象了嗎？
生：我覺得石子投下去的地方就是圓的圓心。
生：石子的力量向四周平均用力，就形成了一個個圓。
生：這裏似乎包含着半徑處處相等的道理呢。
師：瞧，簡單的自然現象中，有時也蘊含着豐富的數學規律呢。至於其他一些現象中又爲何會出現圓，當中的原因，就留待同學們課後進一步去調查、去研究了。
師：其實，又何止是大自然對圓情有獨鍾呢，在我們人類生活的每一個角落，圓都扮演着重要的角色，併成爲美的使者和化身。讓我們一起來欣賞――
（伴隨着優美的音樂，如下的畫面一一展現在學生眼前：生活中的圓形拱橋、世界著名的圓形建築、中國著名的圓形景德鎮瓷器、中國民間的圓形中國節、中國傳統的圓形剪紙、世界著名的圓形標誌設計等等，如圖⑤。）
圖⑤
師：感覺怎麼樣？
生：我覺得圓真是太美了！
生：我無法想象生活中如果沒有了圓，將會是什麼樣子。
生：生活中因爲有了圓而變得格外多姿多彩。
……
師：而這，不正是圓的魅力所在嗎？
［五］
師：西方數學、哲學史上歷來有這麼種說法，“上帝是按照數學原則創造這個世界的”。對此，我一直無從理解。而現在想來，石子入水後渾然天成的圓形波紋，陽光下肆意綻放的向日葵，天體運行時近似圓形的軌跡，甚至於遙遠天際懸掛的那輪明月、朝陽……而所有這一切，給予我們的不正是一種微妙的啓示嗎？至於古老的東方，圓在我們身上遺留下的印痕又何嘗不是深刻而廣遠的呢。有的說，中國人特別重視中秋、除夕佳節；有人說，中國古典文學喜歡以大團圓作結局；有人說，中國人在表達美好祝願時最喜歡用上的詞彙常常有“圓滿”“美滿”……而所有這些，難道就和我們今天認識的圓沒有任何關聯嗎？那就讓我們從現在起，從今天起，真正走進歷史、走進文化、走進民俗、走進圓的美妙世界吧！
●自我反思
多少年來，在孩子們的心目中，在教師們的課堂裏，數學一直與定理、法則、記憶、運算、冷峻、機械等聯繫在一起，難學難教、枯燥乏味一直成爲障礙學生數學學習的絆腳石。事實上，造成這一現象的原因是多方面的，而一味注重數學知識的傳遞、數學技能的訓練，漠視數學本身所內涵的鮮活的文化背景，漠視浸潤在數學發展演變過程中的人類不斷探索、不斷髮現的精神本質、力量以及數學與人類社會（包括自然的、歷史的、人文的）千絲萬縷的聯繫，顯然應看成造成這一現象的重要原因之一。
衆所周知，數學本質上是一種文化，《數學課程標準》在前言中明確指出：數學的“內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分。”如何在課程實施過程中踐行並彰顯數學的文化本性，讓文化成爲數學課堂的一種自然本色，我立足從過程與凝聚兩個角度進行探索。“圓的認識”一課正是我所作的一次粗淺嘗試。
數學發展到今天，人們對於她的認識已經歷了巨大的變化。如今，與其說數學是一些結論的組合，毋寧說她更是一種過程，一種不斷經歷嘗試、反思、解釋、重構的再創造過程。因而對於圓的特徵的認識，我並沒有沿襲傳統的小步子教學，即在亦步亦趨的“師生問答”中展開，而是將諸多細小的認知活動統整在一個綜合性、探究性的數學研究活動中，通過學生的自主探索、合作交流、共同分享等，引領學生經歷了一次“研究與發現”的完整過程。整堂課，“發現與分享”成爲真正的主旋律，而知識、能力、方法、情感等恰恰在創造與分享的過程得以自然建構與生成。
在承認“數學是一種過程”的同時，我們也應清晰地意識到，作爲人類文化重要組成部分的數學，在經歷了漫長的發展過程後，“凝聚”並積澱下了一代代人創造和智慧的結晶，我們有理由向學生展現數學所凝聚的這一切，引領學生通過學習感受數學的博大與精深，領略人類的智慧與文明。藉此，教學伊始，我們選擇從最最常見的自然現象引入，引發學生感受圓的神奇魅力；探究結束，我們介紹了中國古代關於圓的記載，從宏觀的視野豐富學生的認識視域；最後，我們更是藉助“解釋自然中的圓”和“欣賞人文中的圓”等活動，幫助學生在豐富多彩的數學學習中層層鋪染、不斷推進，努力使圓所具有的文化特性浸潤於學生的心間，成爲學生數學成長的不竭動力源泉，讓數學課堂擺脫原有的習慣思維與陰影，真正美麗起來。
當然，“理想的課程”如何轉化爲“現實的課程”，這當中仍然有許多值得深切關注的話題。就拿本課教學而言，實施下來，應該說，學生對於“圓”這一冰冷圖形背後所蘊含的人文的、文化的特性的感受還是十分真切的，然而，作爲問題的另一方面，對於基本的數學知識、數學技能的掌握，在教學後的反饋中也確實暴露出了一定的問題，尤其表現在部分學生對於圓的半徑、直徑等概念的理解不夠到位，對於直徑、半徑及其與圓之間的關係的掌握不夠透徹等。因而，今後我們在數學課堂演繹數學文化、數學精神等層面的同時，如何兼顧知識與技能的教學，如何使我們的課堂活中有實，實中見活，應該還是有一定的啓示意義的。
