摘要：查找第K大的元素的問題在計算機查找計數中佔有很重要的地位。若直接進行排序，則算法平均時間複雜度爲O(N*Lg(N))。但是比較好的策略有求第K大的元素的經典算法——基於分治思想的Divide-Select[1][6]，算法的時間複雜度爲O(6.09*N)[5]。由於基於比較的排序算法在最壞的情況之下，都需要進行N*Lg(N)次比較[3]，故本文提出了一種基於非比較算法的無符號整數查找算法——Count-Search（計數查找算法）。該算法應用於無符號整數的查找，算法的平均時間複雜度爲O(2*N)。
關鍵字：非比較；查找；排序；時間複雜度；計數；整數
1算法的基本思想
通常的排序算法在空間和時間複雜度一定的情況下的時間開銷主要是關鍵字之間的比較和記錄的移動。基於計數排序的查找算法（Count-Search）的實現在整個過程無需進行數據的比較，算法的時間複雜度爲O(2*N)。該算法的基本原理是：
根據無符號整數的大小可以和數組元素的下標對應的原則，在程序中可以用整數數組來儲存元素的大小關係。對於一個大小爲N的整型數組a[]，對於每一個元素x，用數組中的元素a[x]記錄下小於等於它的元素個數，當要找的是集合中第K個大的元素時，則只需找到該數組中第N-K+1小的元素。即只需要找到該數組中第一個大於或等於N-K+1的元素，該元素的下標即爲第K大的`數。
該算法具體可以描述爲：假設n個輸入元素的每一個都是介於0到M之間的整數，此處M爲某個無符號整數。
(1)對於每一個輸入的元素X，首先確定出等於X的元素個數。
(2)對於每一個元素X，確定小於等於X的元素個數。
(3)從數組首地址出發順序查找到第一個小於等於K的元素，則該元素X即爲所要查找的第K小的數，順序查找到第一個小於等於N-K+1的元素，則該元素X即爲所要查找的第K大的數。
2計數查找算法的C語言實現(Count—Search)
2.1數據結構的設計與程序
2.2算法步驟分析
第一步：第一行的初始化操作之後，在2-3行檢查每一個輸入元素。如果一個輸入元素的值爲i，即C[i]的值加1。於是在第3行之後，C[i]中存放了等於i的元素個數（整數i=0，1，…M）。
第二步：在第4-8之後，C[i]存放了小於等於i的元素的個數。最後從數組C的首地址出發順序查找第一個使得C[i]>=N-K+1的元素，則第K大的元素即爲i。
下圖給出了Count-Search的運算過程：圖1表示初始數組A，C。圖2表示運行完程序2-3行，數組C中的元素C[i]存放的是數組A中等於i的元素個數。圖3表示運行4-8行的結果，C中元素C[i]存放的是數組A中小於等於i的元素個數。例如查找該數組第3大的數，則由於C[2]=4>=3，故元素2即爲所要查找的第3大的數。
2.3時間複雜度分析
程序2-3行時間複雜度爲O(N)，第4-8行時間複雜度爲O(M)，該算法的時間複雜度爲T(n)=O(N+M)。如果數組A[]的最大值M與N成線形關係，即M=O(n)，則其時間複雜度爲T(n)=O(2N)。
3Count-Search算法與Divide-Select算法的比較
Divide-Select的基本思想是：通過在線性的時間內找到一個劃分基準，使得按這個基準所劃分出的兩個子數組的長度都至少爲原數組的ξ倍（0<ξ<1是某個正常數），然後對子數組遞歸的調用Divide-Select算法，這樣就可以在線性的時間內完成查找任務。[6]
該算法得時間複雜度爲O(6.09*N)[5]，與Count-Search算法相比較可知：Count-Search算法具有更好的時間複雜度。
4算法測試與比較
爲了證實上述結論，在ACERTravelMate2420(PM730，512M內存，80G硬盤)，WindowsXP平臺上編寫了三種查找算法的子程序，進行了相應的實驗測定，其結果如表1所示。（實驗數據全部採用均分佈的無符號整型隨機數）
注：以上時間單位爲毫秒MS。
根據以上數據我們可以繪製出數據規模和時間的函數圖像。
觀察分析以上實驗結果，可以看出：基於快速排序的查找算法和其他算法相比較具有較差的效率；而採用了分治策略的Divide-Select查找算法的效率可以是基於快速排序的查找算法的幾十倍，其時間複雜度在圖中也反映爲線性。而基於計數排序的查找算法（Count-Search）的時間複雜度同樣達到了線性，但是效率卻比Divide-Select更高，通過上述實驗可以得知：在進行無符號整數查找時，基於計數排序的查找算法（Count-Search）在時間上是最優的。
5Count-Search的應用範圍
在查找無符號整數集合時，應用Count-Search算法，能夠降低查找時間複雜度。但是應用Count-Search算法時要注意：該算法只適用於整數的查找，且查找集合S的最大值M與S中元素個數N不成指數關係，即M不能遠大於N。因爲當M過大時，首先內存開銷就會很大，其次時間複雜度也會相應的提高。
該算法充分的運用了整數的特性，整個運算過程中無需數據的比較和交換，大大降低了算法的時間複雜度，因此該算法可以在工程統計中得到大規模運用。例如：隨着網絡的發展和應用，網絡中的信息量成倍的擴大，而在其中我們關注的最多的則是統計排名比較靠前的信息，如果將全部過億的統計量排序，則由於數據量過大，則會浪費大量的時間和資源。而採用Count-Search的查找算法，就可在線性的時間完成。
6結束語
本文中提出的一種基於計數排序算法的整數查找算法，該算法在運算過程中無需進行數據的比較和交換，該算法可以應用到大規模的整數查找，算法的時間複雜度很低，而且避免的大量的數據比較和交換，同時在時間上是最優的。
參考文獻
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