初一數學方案設計問題試題
(2012北海,23，8分)23.某班有學生55人，其中男生與女生的人數之比爲6：5。
(1)求出該班男生與女生的人數;
(2)學校要從該班選出20人蔘加學校的合唱團，要求：①男生人數不少於7人;②女生人數超過男生人數2人以上。請問男、女生人數有幾種選擇方案?
【解析】(1)根據題目中的等量關係，設出未知數，列出方程，並求解，得男生和女生的人數分別爲30人，25人。
(2)根據題意列出不等式組，並求解。又因爲人數不能爲小數，列出不等式組的整數解，可以得出有兩種方案。
【答案】解：(1)設男生有6x人，則女生有5x人。1分
依題意得：6x+5x=552分
∴x=5
∴6x=30，5x=253分
答：該班男生有30人，女生有25人。4分
(2)設選出男生y人，則選出的女生爲(20-y)人。5分
由題意得：6分
解之得：7≤y<9
∴y的整數解爲：7、8。7分
當y=7時，20-y=13
當y=8時，20-y=12
答：有兩種方案，即方案一：男生7人，女生13人;方案二：男生8人，女生12人。8分
【點評】本題是方程和不等式組的應用，使用性比較強，適合方案設計。解題時注意題目的隱含條件，就是人數必須是非負整數。是歷年中考考查的知識點，平時教學的時候多加訓練。難度中等。
24.(2012年廣西玉林市，24，10分)一工地計劃租用甲、乙兩輛車清理淤泥，從運輸量來估算：若租兩輛車合運，10天可以完成任務;若單獨租用乙車完成任務則比單獨租用甲車完成任務多用15天.
(1)甲、乙兩車單獨完成任務分別需要多少天?
(2)已知兩車合運共需租金65000元，甲車每天的租金比乙車每天的租金多1500元.試問：租甲乙車兩車、單獨租甲車、單獨租乙車這三種方案中，哪一種租金最少?請說明理由.
分析：(1)設甲車單獨完成任務需要x天，乙單獨完成需要y天，根據題意所述等量關係可得出方程組，解出即可;(2)結合(1)的結論，分別計算出三種方案各自所需的費用，然後比較即可.
解：(1)設甲車單獨完成任務需要x天，乙單獨完成需要y天，由題意可得：,解得：
即甲車單獨完成需要15天，乙車單獨完成需要30天;(2)設甲車租金爲a，乙車租金爲b，則根據兩車合運共需租金65000元，甲車每天的租金比乙車每天的租金多1500元可得：
,解得：.
①租甲乙兩車需要費用爲：65000元;②單獨租甲車的費用爲：15×4000=60000元;
③單獨租乙車需要的費用爲：30×2500=75000元;綜上可得，單獨租甲車租金最少.
點評：此題考查了分式方程的應用，及二元一次方程組的知識，分別得出甲、乙單獨需要的天數，及甲、乙車的租金是解答本題的關鍵.
27.(2012黑龍江省綏化市，27，10分)在實施“中小學校舍安全工程”之際，某縣計劃對A、B兩類學校的校舍進行改造.根據預測，改造一所A類學校和三所B類學校的校舍共需資金480萬元，改造三所A類學校和一所B類學校的校舍共需資金400萬元.
⑴改造一所A類學校和一所B類學校的校舍所需資金分別是多少萬元?
⑵該縣A、B兩類學校共有8所需要改造.改造資金由國家財政和地方財政共同承擔，若國家財政撥付資金不超過770萬元，地方財政投入的資金不少於210萬元，其中地方財政投入到A、B兩類學校的改造資金分別爲每所20萬元和30萬元，請你通過計算求出有幾種改造方案，每個方案中A、B兩類學校各有幾所.
【解析】解：(1)等量關係爲：①改造一所A類學校和三所B類學校的校舍共需資金480萬元;
②改造三所A類學校和一所B類學校的校舍共需資金400萬元;
設改造一所A類學校的校舍需資金x萬元，改造一所B類學校的校舍所需資金y萬元，
則，解得
答：改造一所A類學校的校舍需資金90萬元，改造一所B類學校的校舍所需資金130萬元.
(2)不等關係爲：①地方財政投資A類學校的總錢數+地方財政投資B類學校的總錢數≥210;
②國家財政投資A類學校的總錢數+國家財政投資B類學校的總錢數≤770.
設A類學校應該有a所，則B類學校有(8-a)所.
則，解得
∴1≤a≤3，即a=1，2，3.
答：有3種改造方案.方案一：A類學校有1所，B類學校有7所;
方案二：A類學校有2所，B類學校有6所;
方案三：A類學校有3所，B類學校有5所.
【答案】⑴改造一所A類學校和一所B類學校的校舍所需資金分別是90萬元、130萬元;
⑵共有三種方案.方案一：A類學校1所，B類學校7所;
方案二：A類學校2所，B類學校6所;
方案三：A類學校3所，B類學校5所.
【點評】解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關係.理解“國家財政撥付的改造資金不超過770萬元，地方財政投入的資金不少於210萬元”這句話中包含的不等關係是解決本題的關鍵.難度中等.
22.(2012山東萊蕪，22，10分)(本題滿分10分)
爲表彰在“締造完美教室”活動中表現積極的同學，老師決定購買文具盒與鋼筆作爲獎品.已知5個文具盒、2支鋼筆共需100元;4個文具盒、7支鋼筆共需161元.
(1)每個文具盒、每支鋼筆個多少元?
(2)時逢“五一”，商店舉行“優惠促銷”活動，具體辦法如下：文具盒“九折”優惠;鋼筆10支以上超出部分“八折”優惠.若買x個文具盒需要元，買x支鋼筆需要元;求、關於x的函數關係式;
(3)若購買同一種獎品，並且該獎品的數量超過10件，請你分析買哪種獎品省錢.
【解析】(1)設每個文具盒x元，每支鋼筆y元，可列方程組得
，解之得
答：每個文具盒14元，每支鋼筆15元.……………………………………………………..4分
(2)由題意知，y1關於x的函數關係式爲y1=14×90%x，即y1=12.6x.
由題意知，買鋼筆10以下(含10支)沒有優惠，故此時的函數關係式爲y2=15x.
當買10支以上時，超出部分有優惠，故此時函數關係式爲y2=15×10+15×80%(x-10)
即y2=12x+30.……………………………………………………..7分
(3)當y1<y2即12.6x<12x+30時，解得x<50;
當y1=y2即12.6x=12x+30時，解得x=50;
當y1>y2即12.6x>12x+30時，解得x>50.
綜上所述，當購買獎品超過10件但少於50件時，買文具盒省錢;
當購買獎品超過50件時，買文具盒和買鋼筆錢數相等;
當購買獎品超過50件時，買鋼筆省錢..……………………………………………………..10分
【答案】(1)答：每個文具盒14元，每支鋼筆15元.
(2)y1=12.6x;y2=12x+30.
(3)當購買獎品超過10件但少於50件時，買文具盒省錢;
當購買獎品超過50件時，買文具盒和買鋼筆錢數相等;
當購買獎品超過50件時，買鋼筆省錢.
【點評】本題考察了列二元一次方程組解實際問題，求一次函數的解析式和利用一元一次不等式組選擇最優化的方案。解決此類問題時，關鍵是找到相等關係，列出方程組和函數關係式，在根據各種可能情況列出不等式並求解，得出最優化方案.
21.(2012山西，21，6分)實踐與操作：如圖1是以正方形兩頂點爲圓心，邊長爲半徑，畫兩段相等的圓弧而成的軸對稱圖形，圖2是以圖1爲基本圖案經過圖形變換拼成的一箇中心對稱圖形.
(1)請你仿照圖1，用兩段相等圓弧(小於或等於半圓)，在圖3中重新設計一個不同的軸對稱圖形.
(2)以你在圖3中所畫的圖形爲基本圖案，經過圖形變換在圖4中拼成一箇中心對稱圖形.
【解析】解：(1)在圖3中設計出符合題目要求的圖形.
(2)在圖4中畫出符合題目要求的圖形.
評分說明：此題爲開放性試題，答案不唯一，只要符合題目要求即可給分.
【答案】答案不唯一，符合條件即可.
【點評】本題主要考查了考生軸對稱圖案的設計，並由小的軸對稱圖案設計成一個大的中心對稱圖案;難度中等.
專項十二方案設計型問題(42)
20.(2012四川省南充市，20，8分)學校6名教師和234名學生集體外出活動，準備租用45座大車或30座小車.若租用1輛大車2輛小車共需租車費1000元;若租用2輛大車1輛小車共需租車費1100元.
(1)求大、小車每輛的租車費各是多少元?
(2)若每輛車上至少要有一名教師，且總組成費用不超過2300元，求最省錢的租車方案.
解析：(1)設大車每輛的租車費是x元、小車每輛的租車費是y元.根據題意：“租用1輛大車2輛小車共需租車費1000元”;“租用2輛大車一輛小車共需租車費1100元”;可分別列出方程，聯立成二元一次方程組，再求解即可;
(2)根據汽車總數不能小於(取整爲6)輛，即可求出共需租汽車的輛數;設出租用大車m輛，則租車費用Q(單位：元)是m的函數，由題意得出100m+1800≤2300，得出取值範圍，分析得出即可.
答案：解：(1)設租用一輛大車的租車費是x元，租用一輛小車的租車費是y元，依題意，得：，解之，得：.
答：大、小車每輛的租車費分別是400元和300元.
(2)240名師生都有座位，租車總輛數≥6;每輛車上至少要有一名教師，租車總輛數≤6.故租車總數事故6輛，設大車輛數是x輛，則租小車(6-x)輛.得：
，解之，得：4≤x≤5.
∵x是正整數∴x=4或5
於是又兩種租車方案，方案1：大車4輛小車2輛總租車費用2200元，方案2：大車5輛小車1輛總租車費用2300元，可見最省錢的是方案1.
點評：本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用和理解題意的能力，關鍵是根據題目所提供的等量關係和不等量關係，列出方程組和不等式求解.
專項十二方案設計型問題(42)
18.(2012湖南益陽，18，8分)爲響應市政府“創建國家森林城市”的號召，某小區計劃購進A、B兩種樹苗共17棵，已知A種樹苗每棵80元，B種樹苗每棵60元.
(1)若購進A、B兩種樹苗剛好用去1220元，問購進A、B兩種樹苗各多少棵?
(2)若購買B種樹苗的數量少於A種樹苗的數量，請你給出一種費用最省的方案，並求出該方案所需費用.
【解析】⑴設購進A種樹苗x棵，則購進B種樹苗(17-x)棵，根據購進A、B兩種樹苗剛好用去1220元得到80x+60(17-x)=1220解得x=10則B種樹苗(17-x=7)棵;⑵由購買B種樹苗的數量少於A種樹苗的數量得到：17-x則購進A、B兩種樹苗所需費用爲：80x+60(17-x)=20x+1020要形如最小，則需x取最小整數9，此時
17-x=8這時所需費用爲20×9+1020=1200(元)。
【答案】解：⑴設購進A種樹苗x棵，則購進B種樹苗(17-x)棵，根據題意得：…1分
80x+60(17-x)=1220……………………………………………2分
解得x=10
∴17-x=7…………………………………………3分
答：購進A種樹苗10棵，B種樹苗7棵………………………………………4分
⑵設購進A種樹苗x棵，則購進B種樹苗(17-x)棵，根據題意得：
17-x……………………………………………6分
購進A、B兩種樹苗所需費用爲80x+60(17-x)=20x+1020
則費用最省需x取最小整數9，此時17-x=8
這時所需費用爲20×9+1020=1200(元).
答：費用最省方案爲：購進A種樹苗9棵，B種樹苗8棵.這時所需費用爲1200元.
……………………8分
【點評】本題考查理解題意的能力，關鍵是設出A種樹苗x棵，表示出B種樹苗(17-x)棵，以購進A、B兩種樹苗剛好用去1220元做爲等量關係列方程求解.⑵是不等關係，形如要取最小值，則要x最小，即可解決;列方程解應用題是中考必考查的內容。首先要認真審題，讀懂題意，找出相等的數量關係，弄清楚題目中的關鍵字、關鍵詞。然後列出符合要求的方程，本題中要求是一元一次方程;難度中等。
22.(2012四川省資陽市，22，8分)爲了解決農民工子女就近入學問題，我市第一小學計劃2012年秋季學期擴大辦學規模.學校決定開支八萬元全部用於購買課桌凳、辦公桌椅和電腦，要求購買的課桌凳與辦公桌椅的數量比爲20:1，購買電腦的資金不低於16000元，但不超過24000元.已知一套辦公桌椅比一套課桌凳貴80元，用2000元恰好可以買到10套課桌凳和4套辦公桌椅.(課桌凳和辦公桌椅均成套購進)
(1)(3分)一套課桌凳和一套辦公桌椅的價格分別爲多少元?
(2)(5分)求出課桌凳和辦公桌椅的購買方案.
[來源:zz@s&te︿p.c%o#m]
【解析】(1)由題目中的兩等量關係“一套辦公桌椅比一套課桌凳貴80元;用2000元恰好可以買到10套課桌凳和4套辦公桌椅”，設未知數列出方程組(或一元一次方程)求出兩者的價格.
(2)由題目中的一個比例關係及兩個不等關係“購買的課桌凳與辦公桌椅的數量比爲20:1;購買電腦的資金不低於16000元，但不超過24000元”設未知數列出不等式組求出範圍，再由實際意義確定有三種方案.
【答案】(1)設一套課桌凳和一套辦公桌椅的價格分別爲元、元，得
…………………………………………………2分
解得
∴一套課桌凳和一套辦公桌椅的價格分別爲120元、200元………………………………3分
(2)設購買辦公桌椅套，則購買課桌凳20套，由題意有
………………………………………5分[中國#~教育出*版@%網]
解得，………………………………………………………6分
∵爲整數，∴=22、23、24，有三種購買方案：………………………………………7分
方案一方案二方案三
課桌凳(套)440460480
辦公桌椅(套)222324
…………………………………………8分
【點評】本題是方程(組)和不等式的應用，認真審題，理清題目中的數量關係，抓住題目中的關鍵語句是解答這類問題的關鍵.對於方案的設計，結合實際問題來確定，一般通過函數的增減性或所有方案再做出決策.難度中等.
24.(2012貴州銅仁，24，12分)爲了抓住梵淨山文化藝術節的商機，某商店決定購進A、B兩種藝術節紀念品.若購進A種紀念品8件，B種紀念品3件，需要950元;若購進A種紀念品5件，B種紀念品6件，需要800元.
(1)求購進A、B兩種紀念品每件各需多少元?
(2)若該商店決定購進這兩種紀念品共100件，考慮市場需求和資金週轉，用於購買這100件紀念品的資金不少於7500元，但不超過7650元，那麼該商店共有幾種進貨方案?
(3)若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第(2)問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大?最大利潤是多少元?
【分析】(1)此問題等量關係式爲：8件A紀念品的錢數+3件B紀念品的錢數=950;
5件A紀念品的錢數+6件B紀念品的錢數=800;
然後根據關係式即可列出方程求解
(2)此問題關係式爲：購買100件A和B資金不少於7500元，但不超過7650元，然後根據關係式即可列出不等式組，解出購進A或B的件數，即可得到商店有幾種進貨方案
(3)可分別計算出各種方案的利潤，然後比較大小即可。
【解析】(1)設該商店購進一件A種紀念品需要a元，購進一件B種紀念品需要b元,根據題意得方程組
解方程組得
∴購進一件A種紀念品需要100元，購進一件B種紀念品需要50元
(2)設該商店購進A種紀念品x個，則購進B種紀念品有(100—x)個
∴
解得50≤x≤53
∵x爲正整數,
∴共有4種進貨方案
(3)因爲B種紀念品利潤較高，故B種數量越多總利潤越高，
因此選擇購A種50件，B種50件.
總利潤=(元)
∴當購進A種紀念品50件，B種紀念品50件時，可獲最大利潤，
最大利潤是2500元
【點評】本題考查了一元一次不等式組的應用和二元一次方程組的應用，是一道綜合性試題，難度較大，此題找到相應的關係式是解決問題的關鍵，應注意第二問應求得整數解。列二元一次方程組解決實際問題的關鍵是能正確分析出題目中的等量關係，題目內容往往與生活實際相貼近，與社會關係的'熱點問題相聯繫。利用一元一次不等式(組)解決實際問題一般步驟是：(1)找出實際問題的不等關係，設定未知數，列出不等式(組);(2)解不等式(組);(3)從不等式組的解集中求出符合題意的答案。
一元一次不等式組的應用和二元一次方程組的應用相結合是考試的重點，同時也是難點。
19.(2012四川內江，19，9分)某市爲創建省衛生城市，有關部門決定利用現有的4200盆甲種花卉和3090盆乙種花卉，搭配A、B兩種園藝造型共60個，擺放於入城大道兩側，搭配每個造型所需花卉數量的情況如下表所示：
花卉
造型甲乙
A8040
B5070
結合上述信息，解答下列問題：
(1)符合題意的搭配方案有哪幾種?
(2)如果搭配一個A種造型的成本爲1000元，搭配一個B種造型的成本爲1500元，試說明選用哪種方案成本最低?最低成本爲多少元?
【解析】(1)4200盆甲種花卉和3090盆乙種花卉最多全部用完，不可能用超，由此得出：A，B兩種造型共用甲種花卉不超過4200盆及A，B兩種造型共用乙種花卉不超過3090盆這兩個不等關係，然後列出不等式組求其整數解;(2)以A種造型(或B種造型)爲自變量，搭配A，B兩種造型的總成本爲函數，構建一次函數關係式，然後運用其性質討論求解.
【答案】解：(1)設搭配A種造型x個，則搭配B種造型(60-x)個.
由題意，得：，解之得37≤x≤40.
∵x爲正整數，∴x1=37，x2=38，x3=39，x4=40.
∴符合題意的搭配方案有4種：①A種造型37個，B種造型23個;②A種造型38個，B種造型22個;③A種造型39個，B種造型21個;④A種造型40個，B種造型20個.
(2)設總成本爲W元，則W=1000x+1500(60-x)=-500x+90000.
∵W隨x的增大而減小，∴當x=40時，W最小=70000元.
即選用A種造型40個，B種造型20個時，成本最低爲70000元.
【點評】正確理解題意列出函數和不等式組是解題關鍵.所謂“巧婦難爲無米之炊”，此題列不等式組的過程就是這一生活現象的數學運用.對於方案決策問題，多數情況下都與不等式組有關，不等式組有幾個整數解，就會有多少個方案.另外，進行方案決策時，在方案較少的情況下，算出各方案的費用對比作結也不失爲一種好方法.
23.(2012連雲港，23，10分)(本題滿分10分)我市某醫藥公司把一批藥品運往外地，現有兩種運輸方式可供選擇。
方式一：使用快遞公司的郵車運輸，裝卸收費400元，另外每公里再加收4元;
方式二：使用快遞公司的火車運輸，裝卸收費820元，另外每公里再加收2元;
(1)請分別寫出郵車、火車運輸的總費用y1、y2(元)與運輸路程x公里之間的函數關係
(2)你認爲選用那種運輸方式較好，爲什麼?
【解析】本題先根據題意寫出兩種方式運費和公里數的函數關係，然後與另外兩種方式進行比較，選擇出最佳方案
【答案】(1)由題意得，y1=4x+400,y2=2x+820.
(2)令4x+400=2x+820解之得x=210,
所以當運輸路程小於210km時，y1
當運輸路程等於210km時，y1=y2，選擇兩種方式一樣;
當運輸路程大於210km時，y1>y2，選擇火車運輸較好;
【點評】此題主要考查利用一次函數的模型解決實際問題的能力.要先根據題意列出函數關係式，再比較隨着公里數的不同，選擇那種運輸方式較好.解題的關鍵是要分析題意根據實際意義準確的列出解析式，再進行比較.
20.(2012四川省南充市，20，8分)學校6名教師和234名學生集體外出活動，準備租用45座大車或30座小車.若租用1輛大車2輛小車共需租車費1000元;若租用2輛大車1輛小車共需租車費1100元.
(1)求大、小車每輛的租車費各是多少元?
(2)若每輛車上至少要有一名教師，且總組成費用不超過2300元，求最省錢的租車方案.
解析：(1)設大車每輛的租車費是x元、小車每輛的租車費是y元.根據題意：“租用1輛大車2輛小車共需租車費1000元”;“租用2輛大車一輛小車共需租車費1100元”;可分別列出方程，聯立成二元一次方程組，再求解即可;
(2)根據汽車總數不能小於(取整爲6)輛，即可求出共需租汽車的輛數;設出租用大車m輛，則租車費用Q(單位：元)是m的函數，由題意得出100m+1800≤2300，得出取值範圍，分析得出即可.
答案：解：(1)設租用一輛大車的租車費是x元，租用一輛小車的租車費是y元，依題意，得：，解之，得：.
答：大、小車每輛的租車費分別是400元和300元.
(2)240名師生都有座位，租車總輛數≥6;每輛車上至少要有一名教師，租車總輛數≤6.故租車總數事故6輛，設大車輛數是x輛，則租小車(6-x)輛.得：
，解之，得：4≤x≤5.
∵x是正整數∴x=4或5
於是又兩種租車方案，方案1：大車4輛小車2輛總租車費用2200元，方案2：大車5輛小車1輛總租車費用2300元，可見最省錢的是方案1.
點評：本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用和理解題意的能力，關鍵是根據題目所提供的等量關係和不等量關係，列出方程組和不等式求解.
