一、 教學內容與任務分析
本節課的內容選自《普通高中課程標準實驗教科書》人教A版必修四第一章第四節1.4.1正弦函數、餘弦函數的圖象。本節課的教學是以之前的任意角的三角函數,三角函數的誘導公式的相關知識爲基礎,爲之後學習正弦型函數 y=Asin (ωx+φ)的圖象及運用數形結合思想研究正、餘弦函數的性質打下堅實的知識基礎。
二、 學習者分析
學生已經學習了任意三角函數的定義,三角函數的誘導公式,並且剛學習三角函數線,這爲用幾何法作圖提供了基礎,但能不能正確應用來畫圖,這還需要老師做進一步的指導。
三、 教學重難點
教學重點:正弦餘弦函數圖象的做法及其特徵
教學難點:正弦餘弦函數圖象的做法,及其相互間的關係
四、 教學目標
1. 知識與技能目標
(1) 瞭解用正弦線畫正弦函數的圖象,理解用平移法作餘弦函數的圖
象
(2) 掌握正弦函數、餘弦函數的圖象及特徵
(3) 掌握利用圖象變換作圖的方法,體會圖象間的聯繫 (4) 掌握“五點法”畫正弦函數、餘弦函數的簡圖 2. 過程與方法目標
(1) 通過動手作圖,合作探究,體會數學知識間的內在聯繫 (2) 體會數形結合的思想
(3) 培養分析問題、解決問題的能力 3. 情感態度價值觀目標
(1) 養成尋找、觀察數學知識之間的內在聯繫的意識 (2) 激發數學的學習興趣
(3) 體會數學的`應用價值
五、 教學過程
一、 複習引入
師:實數集與角的集合之間可以建立一一對應關係,而確定的角又有着唯一確定的正弦(或餘弦)值。
這樣任意給定一個實數x有唯一確定的值sinx(cosx)與之對應,有這個對應法則所確定的函數y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函數(或餘弦函數),其定義域是R。
遇到一個新的函數,我們很容易想到的就是畫函數圖象,那怎麼畫正弦函數、餘弦函數的圖象呢?
我們先來做一個簡弦運動的實驗,這就是某個簡弦函數的圖象,通過實驗是不是對正弦函數餘弦函數的圖象有了直觀印象呢
【設計意圖】通過動手實驗,體會數學與其他的聯繫,激發學習興趣。
二、 講授新課
(1)正弦函數y=sinx的圖象
下面我們就來一起畫這個正弦函數的圖象
第一步:在直角座標系的x軸上任取一點O1,以O1爲圓心作單位圓,從這個圓與x軸的交點A起把圓分成n(這裏n=12)等份.把x軸上從0到2π這一段分成n(這裏n=12)等份.(預備:取自變量x值—弧度制下角與實數的對應).
第二步:在單位圓中畫出對應於角0,
,2π的正弦線正弦線
(等價於“列表” ).把角x的正弦線向右平行移動,使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合,則正弦線的終點就是正弦函數圖象上的點(等價於“描點” ).
第三步:連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點連結起來,就得到正弦函數y=sinx,x∈[0,2π]的圖象.
【設計意圖】通過按步驟自己畫圖,體會如何畫正弦函數的圖象。 根據終邊相同的同名三角函數值相等,所以函數y=sinx,x∈[2k∏,2(k+1)∏,k∈Z且k≠0的圖象,與函數y=sinx,x∈[0,2∏)的圖象的形狀完全一致。於是我們只要將y=sinx,x∈[0,2∏)的圖象沿着x軸向右和向左連續地平行移動,每次移動的距離爲2π,就得到y=sinx,x∈R的圖象. 【設計意圖】由三角函數值的關係,得出正弦函數的整體圖象。
把角x(x?R)的正弦線平行移動,使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合,則正弦線的終點的軌跡就是正弦函數y
=sinx的圖象.
(2)餘弦函數y=cosx的圖象
探究1:你能根據誘導公式,以正弦函數圖象爲基礎,通過適當的圖形變得
到餘弦函數的圖象? 根據誘導公式cosx
?sin(x?
?2
)
,可以把正弦函數y=sinx的圖象向左平移
?2
單位即得餘弦函數y=cosx的圖象.
正弦函數y=sinx的圖象和餘弦函數y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和餘弦曲線.
【設計意圖】通過正弦函數與餘弦函數的相互關係,在類比的過程中畫出餘弦函數的圖象,體會數學知識間的聯繫,以及類比的數學思想。 思考:在作正弦函數的圖象時,應抓住哪些關鍵點? 【設計意圖】通過問題,爲下面五點法繪圖方法介紹做鋪墊 2.用五點法作正弦函數和餘弦函數的簡圖(描點法): 正弦函數y=sinx,x∈[0,2π]的圖象中,五個關鍵點是:(0,0) ((
3?2
?
2
,1) (?,0)
,-1) (2?,0)
?
2
餘弦函數y=cosxx?[0,2?]的五個點關鍵是哪幾個?(0,1) ((
3?2
,0) (?,-1)
,0) (2?,1)
只要這五個點描出後,圖象的形狀就基本確定了.因此在精確度不太高時,常採用五點法作正弦函數和餘弦函數的簡圖. 3、 講解範例
例1 作下列函數的簡圖
(1)y=1+sinx,x∈[0,2π],(2)y=-COSx
【設計意圖】通過兩道例題檢驗學生對五點畫圖法的掌握情況,鞏固畫法步驟。
探究1. 如何利用y=sinx,x∈〔0,2π〕的圖象,通過圖形變換(平移、 翻轉等)來得到
(1)y=1+sinx ,x∈〔0,2π〕的圖象; (2)y=sin(x- π/3)的圖象?
小結:函數值加減,圖像上下移動;自變量加減,圖像左右移動。 探究2.
如何利用y=cos x,x∈〔0,2π〕的圖象,通過圖形變換(平移、翻轉等)來得到y=-cosx ,x∈〔0,2π〕的圖象? 小結:這兩個圖像關於X軸對稱。 探究3.
如何利用y=cos x,x∈〔0,2π〕的圖象,通過圖形變換(平移、翻轉等)來得到y=2-cosx ,x∈〔0,2π〕的圖象?
小結:先作 y=cos x圖象關於x軸對稱的圖形,得到 y=-cosx的圖象,
再將y=-cosx的圖象向上平移2個單位,得到 y=2-cosx 的圖象。 探究4.
不用作圖,你能判斷函數y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的圖象有何關係嗎?請在同一座標系中畫出它們的簡圖,以驗證你的猜想。
小結:sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx 這兩個函數相等,圖象重合。
【設計意圖】通過四個探究問題,對畫圖法以及正弦餘弦函數及其圖象的性質有更深刻的認識。 4、 小結作業
對本節課所學內容進行小結
【設計意圖】在梳理本節課所學的知識點歸納的過程中進一步加深對正弦函數、餘弦函數圖象認知。培養學生歸納總結的能力,自主構建知識體系。 佈置分層作業
基礎題A題,提高題B題
【設計意圖】將課堂延伸,使學生將所學知識與方法再認識和昇華,進一步促進學生認知結構內化。注重學生的個體發展,是每個層次的學生都有所進步。