數列測試題及答案：
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1．在等差數列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，則a7爲( )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6.
答案：A
2．若等差數列{an}的前n項和爲Sn，且滿足S33－S22＝1，則數列{an}的公差是( )
A.12 B．1 C．2 D．3
解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故選C.
答案：C
3．已知數列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，則a2 011等於( )
A．1 B．－4 C．4 D．5
解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…
故{an}是以6爲週期的數列，
∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1.
答案：A
4．設{an}是等差數列，Sn是其前n項和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結論錯誤的是( )
A．d＜0 B．a7＝0
C．S9＞S5 D．S6與S7均爲Sn的最大值
解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.
又S7＞S8，∴a8＜0.
假設S9＞S5，則a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.
∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假設不成立，故S9＜S5.∴C錯誤.
答案：C
5．設數列{an}是等比數列，其前n項和爲Sn，若S3＝3a3，則公比q的值爲( )
A．－12 B.12
C．1或－12 D．－2或12[
解析：設首項爲a1，公比爲q，
則當q＝1時，S3＝3a1＝3a3，適合題意．
當q≠1時，a1(1－q3)1－q＝3a1q2，
∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0，
解得q＝1(捨去)，或q＝－12.
綜上，q＝1，或q＝－12.
答案：C
6．若數列{an}的通項公式an＝5 252n－2－425n－1，數列{an}的最大項爲第x項，最小項爲第y項，則x＋y等於( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：an＝5252n－2－425n－1＝525n－1－252－45，
∴n＝2時，an最小；n＝1時，an最大．
此時x＝1，y＝2，∴x＋y＝3.
答案：A
7．數列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2(n∈N *)，則該數列中相鄰兩項的乘積是負數的是( )
A．a21a22 B．a22a23 C．a23a24 D．a24a25
解析：∵3an＋1＝3an－2，
∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23.
∴an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)．
令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5.
又n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，而a24＜0，∴a23a24＜0.
答案：C
8．某工廠去年產值爲a，計劃今後5年內每年比上年產值增加10%，則從今年起到第5年，這個廠的總產值爲( )
A．1.14a B．1.15a
C．11×(1.15－1)a D．10×(1.16－1)a
解析：由已知，得每年產值構成等比數列a1＝a，w
an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)．
∴總產值爲S6－a1＝11×(1.15－1)a.
答案：C
9．已知正數組成的等差數列{an}的前20項的和爲100，那麼a7a14的最大值爲( )
A．25 B．50 C．1 00 D．不存在
解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10. ∴a7＋a14＝10.
又a7＞0，a14＞0，∴a7a14≤a7＋a1422＝25.
答案：A
10．設數列{an}是首項爲m，公比爲q(q≠0)的等比數列，Sn是它的前n項和，對任意的n∈N*，點an，S2nSn( )
A．在直線mx＋qy－q＝0上
B．在直線qx－my＋m＝0上
C．在直線qx＋my－q＝0上
D．不一定在一條直線上
解析：an＝mqn－1＝x， ①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y， ②
由②得qn＝y－1，代入①得x＝mq(y－1)， 即qx－my＋m＝0.
答案：B
11．將以2爲首項的偶數數列，按下列方法分組：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n組有n個數，則第n組的首項爲( )
A．n2－n B．n2＋n＋2
C．n2＋n D．n2－n＋2
解析：因爲前n－1組佔用了數列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2項，所以第n組的首項爲數列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1項，等於2＋(n－1)n2＋1－12＝n2－n＋2.
答案：D
12．設m∈N*，log2m的整數部分用F(m)表示，則F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是( )
A．8 204 B．8 192
C．9 218 D．以上都不對
解析：依題意，F(1)＝0，
F(2)＝F(3)＝1，有2 個
F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22個．
F(8)＝…＝F(15)＝3，有23個．
F(16)＝…＝F(31)＝4，有24個．
…
F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29個．
F(1 024)＝10，有1個．
故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.
令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①
則2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②
①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝
2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2，
∴T＝8×210＋2＝8 194， m]
∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204.
答案：A
第Ⅱ卷 (非選擇 共90分)
二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分 ，共20分．
13．若數列{an} 滿足關係a1＝2，an＋1＝3an＋2，該數 列的通項公式爲__________．
解析：∵an＋1＝3an＋2兩邊加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴{an＋1}是以a1＋1＝3爲首項，以3爲公比的等比數列，
∴an＋1＝33n－1＝3n，∴an＝3n－1.
答案：an＝3n－1
14．已知公差不爲零的等差數列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，則M與N的大小關係是__________．
解析：設{an}的公差爲d，則d≠0.
M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)]
＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N.
答案：M＜N
15．在數列{an}中，a1＝6，且對任意大於1的正整數n，點(an，an－1)在直線x－y＝6上，則數列{ann3(n＋1)}的前n項和Sn＝__________.
解析：∵點(an，an－1)在直線x－y＝6上，
∴an－an－1＝6，即數列{an}爲等差數列．
∴an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n，
∴an＝6n2.
∴ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1
∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1.
答案：6nn＋1
16．觀察下表：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
…
則第__________行的各數之和等於2 0092.
解析：設第n行的各數之和等於2 0092，
則此行是一個首項a1＝n，項數爲2n－1，公差爲1的等差數列．
故S＝n×(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝2 0092， 解得n＝1 005.
答案：1 005
三、解答題：本大題共6小題，共70分．
17．(10分)已知數列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2.
(1)求證：{bn}是等比數列，並求bn；
(2)求通項an並求{an}的前n項和Sn.
解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12，
∴{bn}是等比數列．
∵b1＝a1－2＝－32，
∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n.
(2)an＝bn＋2＝－32n＋2，
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2
＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3.
18．(12分)若數列{an}的`前n項和Sn＝2n.
(1)求{an}的通項公式；
(2)若數列{bn}滿足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝anbnn，求數列{cn}的通項公式及其前n項和Tn.
解析：(1)由題意Sn＝2n，
得Sn－1＝2n－1(n≥2)，
兩式相減，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)．
當n＝1時，21－1＝1≠S1＝a1＝2.
∴an＝2 (n＝1)，2n－1 (n≥2).
(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，
∴b2－b1＝1，
b3－b2＝3，
b4－b3＝5，
…
bn－bn－1＝2n－3.
以上各式相加，得
bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)
＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2.
∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n，
∴cn＝－2 (n＝1)，(n－2)×2n－1 (n≥2)，
∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1，
∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n.
∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n
＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)×2n
＝2n－2－(n－2)×2n
＝－2－(n－3)×2n.
∴Tn＝2＋(n－3)×2n.
19．(12分)已知等差數列{an}的前n項和爲Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比數列．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若從數列{an}中依次取出第2項，第4項，第8項，…，第2n項，…，按原來順序組成一個新數列{bn}，記該數列的前n項和爲Tn，求Tn的表達式．
解析：(1)依題意，得
3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
即an＝2n＋1.
(2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1)
＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n.
20．(12分)設數列{an}的前n項和爲Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn.
(1)證明：當b＝2時，{an－n2n－1}是等比數列；
(2)求通項an. 新 課 標 第 一 網
解析：由題意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，
ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，
兩式相減，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，
即an＋1＝ban＋2n.①
(1)當b＝2時，由①知，an＋1＝2an＋2n.
於是an＋1－(n＋1)2n＝2an＋2n－(n＋1)2n
＝2an－n2n－1.
又a1－ 120＝1≠0，
∴{an－n2n－1}是首項爲1，公比爲2的等比數列．
(2)當b＝2時，
由(1)知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1
當b≠2時，由①得
an ＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n
＝ban－12－b2n，
因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝2(1－b)2－bbn.
得an＝2， n＝1，12－b[2n＋(2－2b)bn－1]， n≥2.
21．(12分)某地在抗洪搶險中接到預報，24小時後又一個超歷史最高水位的洪峯到達，爲保證萬無一失，抗洪指揮部決定在24小時內另築起一道堤作爲第二道防線．經計算，如果有 20輛大型翻斗車同時作業25小時，可以築起第二道防線，但是除了現有的一輛車可以立即投入作業外，其餘車輛需從各處緊急抽調，每隔20分鐘就有一輛車到達並投入工作．問指揮部至少還需組織多少輛車這樣陸續工作，才能保證24小時內完成第二道防線，請說明理由．
解析：設從現有這輛車投入工作算起，各車的工作時間依次組成數列{an}，則an－an－1＝－13.
所以各車的工作時間構成首項爲24，公差爲－13的等差數列，由題知，24小時內最多可抽調72輛車．
設還需組織(n－1)輛車，則
a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2×－13≥20×25.
所以n2－145n＋3 000≤0，
解得25≤n≤120，且n≤73.
所以nmin＝25，n－1＝24.
故至少還需組織24輛車陸續工作，才能保證在24小時內完成第二道防線．
22．(12分)已知點集L＝{(x，y)|y＝mn}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，點列Pn(an，bn)在點集L中，P1爲L的軌跡與y軸的交點，已知數列{an}爲等差數列，且公差爲1，n∈N*.
(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；
(3)設cn＝5nan|PnPn＋1|(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值．
解析：(1)由y＝mn，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，
得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1.
∵P1爲L的軌跡與y軸的交點，
∴P1(0,1)，則a1＝0，b1＝1.
∵數列{an}爲等差數列，且公差爲1，
∴an＝n－1(n∈N*) ．
代入y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)．
(2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)．
＝5n2－n－1＝5n－1102－2120.
∵n∈N*，
(3)當n≥2時，Pn(n－1,2n－1)，
∴c2＋c3＋…＋cn
＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.
