數學函數應用測試題
函數應用測試題一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分)
1.函數f(x)=x2-3x-4的零點是 ()
A.(1，-4) B.(4，-1)
C.1，-4 D.4，-1
解析：由x2-3x-4=0，得x1=4，x2=-1.
答案：D
2.今有一組實驗數據如下表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
則體現這些數據關係的最佳函數模型是 ()
A.u=log2t B.u=2t-2
C.u=t2-12 D.u=2t-2
解析：把t=1.99，t=3.0代入A、B、C、D驗證易知，C最近似.
答案：C
3.儲油30 m3的油桶，每分鐘流出34 m3的油，則桶內剩餘油量Q(m3)以流出時間t(分)爲自變量的函數的定義域爲 ()
A.[0，+) B.[0，452]
C.(-，40] D.[0,40]
解析：由題意知Q=30-34t，又030，即0 30-34t30，040.
答案：D
4.由於技術的提高，某產品的成本不斷降低，若每隔3年該產品的價格降低13，現在價格爲8 100元的產品，則9年後價格降爲 ()
A.2 400元 B.900元
C.300元 D.3 600元
解析：由題意得8 100(1-13)3=2 400.
答案：A
5.函數f(x)=2x+3x的零點所在的一個區間是 ()
A.(-2，-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
解析：f(-1)=2-1+3(-1)=12-3=-520，
f(0)=20+30=10.
∵y=2x，y=3x均爲單調增函數，
f(x)在(-1,0)內有一零點
答案：B
6.若函數y=f(x)是偶函數，其定義域爲{x|x0}，且函數f(x)在(0，+)上是減函數，f(2)=0，則函數f(x)的零點有 ()
A.唯一一個 B.兩個
C.至少兩個 D.無法判斷
解析：根據偶函數的單調性和對稱性，函數f(x)在(0，+)上有且僅有一個零點，則在(-，0)上也僅有一個零點.
答案：B
7.函數f(x)=x2+2x-3，x0，-2+lnx，x0的零點個數爲 ()
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：由f(x)=0，得x0，x2+2x-3=0或x0，-2+lnx=0，
解之可得x=-3或x=e2，
故零點個數爲2.
答案：C
8.某地固定電話市話收費規定：前三分鐘0.20元(不滿三分鐘按三分鐘計算)，以後每加一分鐘增收0.10元 (不滿一分鐘按一分鐘計算)，那麼某人打市話550秒，應支付電話費
()
A.1.00元 B.0.90元
C.1.20元 D.0.80元
解析：y=0.2+0.1([x]-3)，([x]是大於x的最小整數，x0)，令x=55060，故[x]=10，則y=0.9.
答案：B
9.若函數f(x)的零點與g(x)=4x+2x-2的零點之差的絕對值不超過0.25，則f(x)可以是 ()
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln(x-12)
解析：令g(x)=0，則4x=-2x+2.畫出函數y1=4x和函數y2=-2x+2的圖像如圖，可知g(x)的零點在區間(0,0.5)上，選項A的零點爲0.25，選項B的零點爲1，選項C的零點爲0，選項D的零點大於1，故排除B、C、D.
答案：A
10.在股票買賣過程中，經常用兩種曲線來描述價格變化情況：一種是即時價格曲線y=f(x)，另一種是平均價格曲線y=g(x)，如f(2)=3表示股票開始買賣後2小時的即時價格爲3元;g(2)=3表示2小時內的平均價格爲3元，下面給出了四個圖像，實線表示y=f(x )，虛線表示y=g(x)，其中可能正確的是 ()
解析：A選項中即時價格越來越小時，而平均價格在增加，故不對，而B選項中即時價格在下降，而平均價格不變化，不正確.D選項中平均價格不可能越來越高，排除D.
答案：C
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
11.用二分法求方程x3-2x-5=0在區間[2,3]內的.實根，取區間中點x0=2.5，那麼下一個有根區間是________.
解析：f(x)=x3-2x-5，
f(2)=-10，f(3)=160，f(2.5)=5.6250，
∵f(2)f(2.5)0，
下一個有根區間是(2,2.5).
答案：(2,2.5)
12.已知mR時，函數f(x)=m(x2-1)+x-a恆有零點，則實數a的取值範圍是________.
解析：(1)當m=0時，
由f(x)=x-a=0，
得x=a，此時aR.
(2)當m0時，令f(x)=0，
即mx2+x-m-a=0恆有解，
1=1-4m(-m-a)0恆成立，
即4m2+4am+1 0恆成立，
則2=(4a)2-440，
即-11.
所以對mR，函數f(x)恆有零點，有a[-1 ,1].
答案：[-1,1]
13.已知A，B兩地相距150 km，某人開汽車以60 km/h的速 度從A地到達B地，在B地停留1小時後再以50 km/h的速度返回A地，汽車離開A地的距離x隨時間t變化的關係式是________.
解析：從A地到B地，以60 km/h勻速行駛，x=60t，耗時2.5個小時，停留一小時，x不變.從B地返回A地，勻速行駛，速度爲50 km/h，耗時3小時，故x=150-50(t-3.5)=-50t+325
所以x=60t，02.5，150， 2.5
答案 ：x=60t，02.5150， 2.5
14.某地區居民生活用電分爲高峯和低谷兩個時間段進行分時計價.該地區的電網銷售電價表如下：
高峯時間段用 電價格表
高峯月用電量(單位：千瓦時) 高峯電價(單位：元/千瓦時)
50及以下的部分 0.568
超過50至200的部分 0.598
超過200的部分 0.668
低谷時間段用電價格表
低谷月用電量(單位：千瓦時) 低谷電價(單位：元/千瓦時)
50及以下的部分 0.288
超過50至2 00的部分 0.318
超過200的部分 0.388
若某家庭5月份的高峯時間段用電量爲200千瓦時，低谷時間段用電量爲100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費爲________元(用數字作答).
解析：高峯時段電費a=500.568+(200-50)0.598=118.1(元).
低谷時段電費b=500.288+(100-50)0.318=30.3(元).故該家庭本月應付的電費爲a+b=148.4(元).
答案：148.4
三、解答題(本大題共4小題，共50分)
15.(12分)有甲、乙兩種商品，經營銷售這兩種商品所得的利潤依次爲M萬元和N萬元，它們與投入資金x萬元的關係可由經驗公式給出：M= 14x，N=34x-1(x1).今有8萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，且乙商品至少要求投資1萬元，爲獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品 的資金投入分配應是多少? 共能獲得多大利潤?
解：設投入乙種商品的資金爲x萬元，則投入甲種商品的資金爲(8-x)萬元，共獲得利潤
y=M+N=14(8-x)+34x-1.
令x-1=t(07)，則x=t2+1，
y=14(7-t2)+34t=-14(t-32)2+3716.
故當t=32時，可獲最大利潤3716萬元.
此時，投入乙種商品的資金爲134萬元，
甲種商品的資金爲194萬元.
16.(12分)判斷方程2ln x+x-4=0在(1，e)內是否存在實數解，若存在，有幾個實數解?
解：令f(x)=2ln x+x-4.
因爲f(1)=2ln 1+1-4=-30，f(e)=2ln e+e-4=e -20，
所以f(1)f(e)0.
又函數f(x)在(1，e)內的圖像是連續不斷的曲線，
所以函數f(x)在(1，e)內存在零點，即方程f(x)=0在(1，e)內存在實數解.
由於函數f(x)=2ln x+x-4在定義域(0，+)上爲增函數，所以函數f(x)在(1，e)內只存在唯一的一個零點.
故方程2ln x+x-4=0在(1，e)內只存在唯一的實數解.
17.(12分)某商品在近100天內，商品的單價f(t)(元)與時間t(天)的函數關係式如下：
f(t)=t4+22， 040，tZ，-t2+52， 40
銷售量g(t)與時間t(天)的函數關係式是
g(t)=-t3+1123(0100，tZ).
求這種商品在這100天內哪一天的銷售額最高?
解：依題意，該商品在近100天內日銷售額F(t)與時間t(天)的函數關係式爲F(t)=f(t)g(t)
=t4+22-t3+1123， 040，tZ，-t2+52-t3+1123， 40
(1)若040，tZ，則
F(t)=(t4+22)(-t3+1123)
=-112(t-12)2+2 5003，
當t=12時，F(t)max=2 5003(元)
(2)若40
F(t)=(-t2+52)(-t3+1123)
=16(t-108)2-83，
∵t=108100，
F(t)在(40,100]上遞減，
當t=41時，F(t)max=745.5.
∵2 5003745.5，
第12天的日銷售額最高.
18.(14分)某商場經營一批進價爲12元/個的小商品.在4天的試銷中，對此商品的單價(x)元與相應的日銷量y(個)作了統計，其數據如下：
x 16 20 24 28
y 42 30 18 6
(1)能否找到一種函數，使它反映y關於x的函數關係?若能，寫出函數解析式;
(2)設經營此商品的日銷售利潤爲P(元)，求P關於x的函數解析式，並指出當此商品的銷售價每個爲多少元時，才能使日銷售利潤P取最大值?最大值是多少?
解： (1)由已知數據作圖如圖，
觀察x，y的關係，可大體看到y是x的一次函數，令
y=kx+b.當x=16時，y=42;x=20時，y=30.
得42=16k+b， ①30=20k+b， ②
由②-①得-12=4k，
k=-3，代入②得b=90.
所以y=-3x+90，顯然當x=24時，y=18;
當x=28時，y=6.
對照數據，可以看到y=-3x+90即爲所求解析式;
(2)利潤P=(x-12)(-3x+90)=-3x2+126x-1 080=-3(x-21)2+243.
∵二次函數開口向下，
當x=21時，P最大爲243.
即每件售價爲21元時，利潤最大，最大值爲243元.
